一百個例題 (96 ~ 100)
曾慶潭 Ching-Tang Tseng
ilikeforth@gmail.com
Hamilton, New Zealand
7 October 2024
第(96)個範例，是一個只能在 Lina64 中執行，可以將網址內原為中文格式碼的中文文字顯示出來的程式。
由於在 W10 環境中，文字視窗內中文文字的顯示方式與 Ubuntu 作業系統中者不同，所以，不要在 W10 環境中使用這個程式。
在 Win32Forth 續用機會逐漸接近尾聲的時候，為它重新開發這個主題的程式，意義不大，此處只能盡量解釋程式的精神所在。
程式後面附貼了 20241007 在 Ubuntu V20.04 啟動 Lina64 實際載入並執行這個程式後的顯示結果，讓大家體會程式的實際用處。
我每天使用電腦來做許多事情，瀏覽網路時，收集無數的訊息，影、音、圖、字通通都有。除了訊息，為了便於回查資料出處，一定要把網路的地址也同時留下來。又由於國際各國文字編碼格式的不同，如果網址中使用了非英文的文字，每當操作滑鼠進行反白、複製取得網址，再到文字檔案中去貼上，儲存這個網址時，就會出現所謂 UTF-8 編碼與 BIG-5 編碼之不同的問題，而令取得的網址出現很多以 『 % 』 號前引，後面跟著十六進制碼的東西，無法讓人直接看懂。而且，在 W10 環境擷取這種網址存進檔案，再轉往 Linux 環境打開檔案來看時，就只能顯示這類編碼，想看正確的結果，都得經過字型編碼的規格轉換。當然，系統中有可以自動把整個檔案內容翻譯出來的指令可用，翻譯完就不能再回頭給原作業系統使用了。我很少這樣做，每次，也只有單一個網址的需求問題。
這樣擷取的網址資料，經過 20 幾年之後，留下來的有用網址，已經是成千上萬個了。晚期的網址，才會有這樣的問題，早期的，都是只有英文。現在，每當想要回查網址訊息時，就常常會遭遇到因尾綴 UTF-8 字型編碼，而無法直接看出網頁實際名稱的狀況。
我用 Forth 寫程式，處理所有我會遇到的問題，上述狀況，也是在改用 64 位元之 Linux OS 環境後，才出現的困擾，所以就設計了這個程式。實際上，在 32 位元的 Win32Forth 系統中，也能設計得出具有同樣功能的程式，程式的難度，只屬於二級的程度而已。處理關鍵，只在設法進行刪除所有的 % 符號，轉換出來的結果，在純文字視窗上，就能顯示出原來的中文字了。 % 符號，等於只是一個前引的格式碼，沒有其他的意義。
關於字串處理方面的程式，我在百例中的介紹並不很多，原因就是它們都不屬於數學計算的範疇。我在設計應用程式時，仍然常需面對字串處裡問題。可是， Forth 標準指令中，並沒有許多現成的字串處理指令可用，例如字串的存取、裁剪、比較、增刪 ..... 等等，都沒有現成指令可用，必須自己設計。我並不喜歡討論這方面的技術，因為換個系統之後，一切都得重來，為了適應新環境，重新設計程式都很耗時間，除非是為了非做不可的事情，我才會去仔細研究。
我在 20181202 貼出過關於字串處裡的基礎教學文章：字串。隨後，國際論壇上大概也因此而大肆討論了許久，最後，好像就如我所說的，許多指令雖很有用，但公認不必列為標準，會用的人，兩三行就能自行設計得出來，不熟 Forth 者仍然不會。自此以後，也不再有熱心的人士，願意像我這樣，大耗篇幅寫例題程式了。
由於在 W10 環境中，文字視窗內中文文字的顯示方式與 Ubuntu 作業系統中者不同，所以，不要在 W10 環境中使用這個程式。
在 Win32Forth 續用機會逐漸接近尾聲的時候，為它重新開發這個主題的程式，意義不大，此處只能盡量解釋程式的精神所在。
程式後面附貼了 20241007 在 Ubuntu V20.04 啟動 Lina64 實際載入並執行這個程式後的顯示結果，讓大家體會程式的實際用處。
我每天使用電腦來做許多事情，瀏覽網路時，收集無數的訊息，影、音、圖、字通通都有。除了訊息，為了便於回查資料出處，一定要把網路的地址也同時留下來。又由於國際各國文字編碼格式的不同，如果網址中使用了非英文的文字，每當操作滑鼠進行反白、複製取得網址，再到文字檔案中去貼上，儲存這個網址時，就會出現所謂 UTF-8 編碼與 BIG-5 編碼之不同的問題，而令取得的網址出現很多以 『 % 』 號前引，後面跟著十六進制碼的東西，無法讓人直接看懂。而且，在 W10 環境擷取這種網址存進檔案，再轉往 Linux 環境打開檔案來看時，就只能顯示這類編碼，想看正確的結果，都得經過字型編碼的規格轉換。當然，系統中有可以自動把整個檔案內容翻譯出來的指令可用，翻譯完就不能再回頭給原作業系統使用了。我很少這樣做，每次，也只有單一個網址的需求問題。
這樣擷取的網址資料，經過 20 幾年之後，留下來的有用網址，已經是成千上萬個了。晚期的網址，才會有這樣的問題，早期的，都是只有英文。現在，每當想要回查網址訊息時，就常常會遭遇到因尾綴 UTF-8 字型編碼，而無法直接看出網頁實際名稱的狀況。
我用 Forth 寫程式，處理所有我會遇到的問題，上述狀況，也是在改用 64 位元之 Linux OS 環境後，才出現的困擾，所以就設計了這個程式。實際上，在 32 位元的 Win32Forth 系統中，也能設計得出具有同樣功能的程式，程式的難度，只屬於二級的程度而已。處理關鍵，只在設法進行刪除所有的 % 符號，轉換出來的結果，在純文字視窗上，就能顯示出原來的中文字了。 % 符號，等於只是一個前引的格式碼，沒有其他的意義。
關於字串處理方面的程式，我在百例中的介紹並不很多，原因就是它們都不屬於數學計算的範疇。我在設計應用程式時，仍然常需面對字串處裡問題。可是， Forth 標準指令中，並沒有許多現成的字串處理指令可用，例如字串的存取、裁剪、比較、增刪 ..... 等等，都沒有現成指令可用，必須自己設計。我並不喜歡討論這方面的技術，因為換個系統之後，一切都得重來，為了適應新環境，重新設計程式都很耗時間，除非是為了非做不可的事情，我才會去仔細研究。
我在 20181202 貼出過關於字串處裡的基礎教學文章：字串。隨後，國際論壇上大概也因此而大肆討論了許久，最後，好像就如我所說的，許多指令雖很有用，但公認不必列為標準，會用的人，兩三行就能自行設計得出來，不熟 Forth 者仍然不會。自此以後，也不再有熱心的人士，願意像我這樣，大耗篇幅寫例題程式了。
\ (96) url translator 20180710
0 value ptr
create url 32 cells allot
create web 32 cells allot
: reset$buf
url 32 cells erase
web 32 cells erase
cr ." Input url string $ " cr
input$ url $! ;
: setptr
url $@ drop to ptr ;
: url>web
begin
ptr c@ 0 <>
while
ptr c@ [char] % =
if HEX 0. ptr 1+ 2 >number 2drop d>s web $c+ DECIMAL 3 +to ptr
else ptr c@ web $c+ 1 +to ptr
then
repeat ;
: show
cr ." url = " url $@ type cr
cr ." web = " web $@ type cr ;
: main
reset$buf
setptr
url>web
show ;
main
\s
ching@ctt:~$ ./l
AMDX86 ciforth 5.3.0
fload 96.f
Input url string $
http://www.teepr.com/376386/lexychang/%E4%B8%B9%E9%BA%A5%E5%A4%A9%E4%BD%BF%E7%9A%84%E7%B4%A0%E9%A1%8F%E7%85%A7%E6%9C%83%E8%AE%93%E4%BD%A0%E7%9F%A5%E9%81%93%E4%BB%80%E9%BA%BC%E6%98%AF%E3%80%8C%E7%9C%9F%E6%AD%A3%E7%9A%84%E4%BB%99%E5%A5%B3/
url = http://www.teepr.com/376386/lexychang/%E4%B8%B9%E9%BA%A5%E5%A4%A9%E4%BD%BF%E7%9A%84%E7%B4%A0%E9%A1%8F%E7%85%A7%E6%9C%83%E8%AE%93%E4%BD%A0%E7%9F%A5%E9%81%93%E4%BB%80%E9%BA%BC%E6%98%AF%E3%80%8C%E7%9C%9F%E6%AD%A3%E7%9A%84%E4%BB%99%E5%A5%B3/
web = http://www.teepr.com/376386/lexychang/丹麥天使的素顏照會讓你知道什麼是「真正的仙女/
OK
第(97)個範例程式是用來測試 Lina64 系統中的矩陣及亂數函數應用的結果，兩項成果顯示都有很好的性能。
關於這兩大項的測試，我分開來解釋，並附上實際執行後的測試輸出結果，便於說明。
關於矩陣的測試，只偏重於測出帶 0 指標的單元，是否已被正常的納入系統？用不用都無所謂，輸出時就必須顯示它們的存在。這一特點，在原本的 Win32Forth ABC Forth 系統中沒有刻意安排。我是在使用許多大型數學計算套裝軟體後，才體會出必須令其存在的，否則會有很多現成的程式，在抄用時會遭遇很大的困擾，必須人工自行調整指標來對應，不如就在建系統時加入此一功能，會方便許多。當然，每次宣告陣列、矩陣來用時，就會損失一些可能用不上的記憶體。今日世界，這已不再是問題，那就不要省，對我而言，加設計也只是舉手之勞。這是這個範例測試出設計成功的一個項目。宣告後，沒用到的具有 0 指標之單元，內容全為 0 ，這就是成功的結果。
其次，關於亂數，分成三大項來看結果，我設計系統時沒有前人的文獻可以參考，自己設計後，使用上的『協定』也只好自己規定了。
所有的亂數都是炒作整數亂數後延生出來的，炒作方法就是把位元花樣向左、向右移動幾個質數次，再與原花樣進行 XOR 運算，保證與原花樣完全不一樣，這樣搞個幾次，就成了新的亂數，下一個照樣畫葫蘆。起始花樣，則藉 CPU 旁邊會跑個不停的計時器內容之下半段位元花樣來亂化，使用這種軟、硬通吃的技術，效果就會很好。
這樣產生的整數亂數，因用到全部的位元來生亂，最高位元當然也被炒到了，程式才容易設計，所以，直接使用時，會有負值出現，加一個組合語言指令 ABS 就能解決問題，亂數產生的速度非常快，是 giga 分之幾秒就能完成。但我認為負的亂數也很有用，功能就保留下來了，用時自己注意。
我的浮點數是全用整數四則運算完成的十進制浮點，拿整數亂數直接用，當然就更方便。只是用時要注意，一般的基本用法，都是先取得只介於 0 至 1 之間的浮點亂數，想放大多少，自己乘上去後才使用，就得了。
我的複數系統是一般數學運算套裝軟體系統上不太具有的東西，所以就不用找規格了，使用『協定』也只好自己創立，這個範例中有簡單的使用規格，叫用亂數函數時，使用者提供的參數就是新產生之亂數的上限範圍，實數的部分可以與虛數的部分不一樣，例如此範例中，實數上限是 100 ，虛數上限是 10 ，測試結果，顯示都很好，非常恰當。
關於這兩大項的測試，我分開來解釋，並附上實際執行後的測試輸出結果，便於說明。
關於矩陣的測試，只偏重於測出帶 0 指標的單元，是否已被正常的納入系統？用不用都無所謂，輸出時就必須顯示它們的存在。這一特點，在原本的 Win32Forth ABC Forth 系統中沒有刻意安排。我是在使用許多大型數學計算套裝軟體後，才體會出必須令其存在的，否則會有很多現成的程式，在抄用時會遭遇很大的困擾，必須人工自行調整指標來對應，不如就在建系統時加入此一功能，會方便許多。當然，每次宣告陣列、矩陣來用時，就會損失一些可能用不上的記憶體。今日世界，這已不再是問題，那就不要省，對我而言，加設計也只是舉手之勞。這是這個範例測試出設計成功的一個項目。宣告後，沒用到的具有 0 指標之單元，內容全為 0 ，這就是成功的結果。
其次，關於亂數，分成三大項來看結果，我設計系統時沒有前人的文獻可以參考，自己設計後，使用上的『協定』也只好自己規定了。
所有的亂數都是炒作整數亂數後延生出來的，炒作方法就是把位元花樣向左、向右移動幾個質數次，再與原花樣進行 XOR 運算，保證與原花樣完全不一樣，這樣搞個幾次，就成了新的亂數，下一個照樣畫葫蘆。起始花樣，則藉 CPU 旁邊會跑個不停的計時器內容之下半段位元花樣來亂化，使用這種軟、硬通吃的技術，效果就會很好。
這樣產生的整數亂數，因用到全部的位元來生亂，最高位元當然也被炒到了，程式才容易設計，所以，直接使用時，會有負值出現，加一個組合語言指令 ABS 就能解決問題，亂數產生的速度非常快，是 giga 分之幾秒就能完成。但我認為負的亂數也很有用，功能就保留下來了，用時自己注意。
我的浮點數是全用整數四則運算完成的十進制浮點，拿整數亂數直接用，當然就更方便。只是用時要注意，一般的基本用法，都是先取得只介於 0 至 1 之間的浮點亂數，想放大多少，自己乘上去後才使用，就得了。
我的複數系統是一般數學運算套裝軟體系統上不太具有的東西，所以就不用找規格了，使用『協定』也只好自己創立，這個範例中有簡單的使用規格，叫用亂數函數時，使用者提供的參數就是新產生之亂數的上限範圍，實數的部分可以與虛數的部分不一樣，例如此範例中，實數上限是 100 ，虛數上限是 10 ，測試結果，顯示都很好，非常恰當。
\ (97 random number test
\ beware! In integer mode, need a NEGATE operation to get negative random number
: NTEST 10 0 DO CR 10 0 DO 100 RAND negate 4 .R LOOP LOOP ;
: FTEST 10 0 DO CR -1.0 E 2 FRAND F. LOOP ;
\ beware! upper bound input format ignore + and ii
: ZTEST 10 0 DO CR -1.0 E 2 1.0 E 1 ZRAND Z. LOOP ;
3 integers i j k
complex z0
3 3 3 [tensor] zzz
: init
basic
10 let z{ z0 = 0.0 E 0 + 0.0 E 0 ii }z
20 for i = 1 to 3
30 for j = 1 to 3
40 for k = 1 to 3
\ attention! this is the usage to create a complex random number
50 let z{ zzz ( i j k ) = RND ( 1.0 E 2 - 1.0 E 1 ii ) }z
60 next k
70 next j
80 next i
90 end ;
: MAIN
randomize
ntest cr ftest cr ztest cr
init
basic
10 for i = 0 to 3
20 for j = 0 to 3
30 for k = 0 to 3
40 print " zzz( " ; i ; j ; k ; " )= " ; z{ zzz ( i j k ) }z
50 let z{ z0 = z0 + zzz ( i j k ) }z
60 next k
70 next j
80 next i
90 print cr cr " z0 = " ; z{ z0 }z
100 end
cr ." --- The end of testing --- "
;
\s
ching@center:~$ cd lina64
ching@center:~/lina64$ ./f5124
AMDX86 ciforth 5.3.0
fload 97
I : ISN'T UNIQUE
J : ISN'T UNIQUE
OK
main
-10 -8 -72 -61 -31 -86 -14 -7 -86 -20
-42 -94 -92 -27 -86 -45 -57 -77 -34 -4
-98 -89 -61 -28 -86 -66 -36 -71 -68 -71
-35 -10 -10 -84 -85 -82 -23 -14 -89 -20
-34 -51 -10 -87 -58 -67 -21 -64 -43 -51
-26 -18 -63 -99 -30 -22 -34 -92 -25 -78
-58 -58 -98 -64 -93 -54 -23 -43 -99 -38
-83 -68 -50 -68 -11 -74 -44 -49 -85 -42
-52 -18 -23 -93 -39 -41 -37 -16 -49 -67
-40 -39 -66 -99 -70 -45 -99 -16 -17 -28
-1.913628913
-89.96769746
-90.80277685
-93.25782136
-12.5438047
-68.49962742
-8.071056155
-61.09243441
-47.21671679
-32.33685587
-3.989974468+ 4.9740950527ii
-77.58595045+ 0.7664840648ii
-42.15458337+ 0.0229446231ii
-5.083676585+ 6.5485581007ii
-62.74442857+ 5.2724854219ii
-70.1131553+ 6.2933488809ii
-37.53475328+ 6.8368182786ii
-38.22238984+ 1.2874766663ii
-96.85347849+ 4.7545419669ii
-3.281314505+ 5.6388045221ii
zzz( 0 0 0 )= 0
zzz( 0 0 1 )= 0
zzz( 0 0 2 )= 0
zzz( 0 0 3 )= 0
zzz( 0 1 0 )= 0
zzz( 0 1 1 )= 0
zzz( 0 1 2 )= 0
zzz( 0 1 3 )= 0
zzz( 0 2 0 )= 0
zzz( 0 2 1 )= 0
zzz( 0 2 2 )= 0
zzz( 0 2 3 )= 0
zzz( 0 3 0 )= 0
zzz( 0 3 1 )= 0
zzz( 0 3 2 )= 0
zzz( 0 3 3 )= 0
zzz( 1 0 0 )= 0
zzz( 1 0 1 )= 0
zzz( 1 0 2 )= 0
zzz( 1 0 3 )= 0
zzz( 1 1 0 )= 0
zzz( 1 1 1 )= 16.138346694- 1.6922562207ii
zzz( 1 1 2 )= 11.673369547- 0.0886917048ii
zzz( 1 1 3 )= 12.744789187- 3.7724680765ii
zzz( 1 2 0 )= 0
zzz( 1 2 1 )= 31.962691299- 1.3816571182ii
zzz( 1 2 2 )= 40.44457283- 1.5831628868ii
zzz( 1 2 3 )= 20.592126444- 4.1070317085ii
zzz( 1 3 0 )= 0
zzz( 1 3 1 )= 5.7211277157- 1.9009267784ii
zzz( 1 3 2 )= 79.010045666- 1.7076510055ii
zzz( 1 3 3 )= 36.175071964- 1.1219479774ii
zzz( 2 0 0 )= 0
zzz( 2 0 1 )= 0
zzz( 2 0 2 )= 0
zzz( 2 0 3 )= 0
zzz( 2 1 0 )= 0
zzz( 2 1 1 )= 15.89740986- 2.4554373865ii
zzz( 2 1 2 )= 82.495140485- 8.5362387692ii
zzz( 2 1 3 )= 17.291546835- 8.3884016077ii
zzz( 2 2 0 )= 0
zzz( 2 2 1 )= 15.663485123- 8.9183735609ii
zzz( 2 2 2 )= 87.857473069- 2.1572277506ii
zzz( 2 2 3 )= 8.0974462118- 4.8481376385ii
zzz( 2 3 0 )= 0
zzz( 2 3 1 )= 16.89172751- 5.8226671362ii
zzz( 2 3 2 )= 67.783749813- 1.849634518ii
zzz( 2 3 3 )= 57.98394664- 6.3832837116ii
zzz( 3 0 0 )= 0
zzz( 3 0 1 )= 0
zzz( 3 0 2 )= 0
zzz( 3 0 3 )= 0
zzz( 3 1 0 )= 0
zzz( 3 1 1 )= 5.9138480523- 6.632469444ii
zzz( 3 1 2 )= 92.038071469- 2.2556417577ii
zzz( 3 1 3 )= 18.729357865- 7.4502652215ii
zzz( 3 2 0 )= 0
zzz( 3 2 1 )= 67.299863245- 2.0522561644ii
zzz( 3 2 2 )= 80.622464446- 2.3218369173ii
zzz( 3 2 3 )= 74.024361093- 3.2010649041ii
zzz( 3 3 0 )= 0
zzz( 3 3 1 )= 95.399681736- 5.8407040896ii
zzz( 3 3 2 )= 59.354835252- 6.4971174443ii
zzz( 3 3 3 )= 12.681339537- 9.1802079012ii
z0 = 1130.4878896- 112.1467594ii
--- The end of testing --- OK
第(98)個範例程式是用來解決一個根據巴斯卡(Pascal)三角塔原理為基礎所演變出來的問題，讓程式可以進行矩陣運算，也讓結果易於被核驗。
高階二項式 (a+b)**n 的展開式，每一項的係數所形成的固定變化，曾被一位法國的數學家叫布萊斯‧巴斯卡（Blaise Pascal，1623年6月19日－1662年8月19日)，妥善整理出來，是一個漂亮的三角塔式的係數數列，故得其名。但實際上，對這個問題有過研究的古老文獻，非常的多，顯然，發現人並不是巴斯卡，甚至於中國人也有，這方面，就不用去考究了，我們直稱其為巴斯卡三角塔便可。
巴斯卡三角塔並不容易被電腦程式漂亮的印出來，為了方便，只適合把三角塔印成上三角矩陣，或者是下三角矩陣。因此，這個程式的題目，就要求計算出把這兩種矩陣加起來後的結果到底為何？
我控留此程式的目的，主要是因為這樣的題目能磨練程式的寫法，另外，也是個能夠用來驗證矩陣的資料結構設計得是否正確之題目。算是一個優良的測試材料。關於磨練程式設計技術的部份，請自行看看程式本身，就能了解。關於驗證資料結構是否正確的問題，則還能進一步探討。
巴斯卡三角塔的整齊結構，易於只用肉眼觀察，就能看出對錯。兩個矩陣相加後，因為元素內容的花樣，係與對角線對稱，也易於只用肉眼觀察，就能看出對錯。一般而言，我們使用的電腦，宣告出 20X20 的矩陣，螢幕上尚能印出不需跳列的輸出，能測試到這樣的尺度，大約也足夠表示設計無誤了。
所謂的進一步探討，並不絕對需要，但對矩陣運算系統的設計與發展而言，就很有必要。大家可以看看程式的寫法，您能發現，就算要把矩陣印出來，也得在被印出程式之指令外面，先行宣告出矩陣的維度，才辦得到。後續那個矩陣的加法運算，亦然。這就表示，寫成的這套程式，代表著所有的矩陣運算程式都得這樣處理。
我在發展出許多數學計算系統後，自覺能夠改善矩陣體系運算系統的性能，能夠設計得出 M+ , M- , M* , M/ , Mx , M. , 1/M , Mt , M0 , Mneg ..... 等等，可以不管宣告維度是多少，就能直接使用的運算指令。這樣的性能，必須依靠矩陣在宣告產生時，就把維度也存在資料結構中才行，我辦到了這項設計，但沒有進行矩陣運算系統的發展，因我個人很少有接觸這方面問題的機會。
事實上，我還有許多的構想，可以設計出更多的數學運算體系，都很有意義。但自從進入 64 位元的環境後，面對的系統發展問題，不是更多的數學體系，而是更多的不同 Forth 基本平台。因此，發現研究的主要方向，自己必須嚴格把握住，才有發展的坦途可走。整個系統的基礎，若不專心設計得更好，發展再多的數學體系，只會弄亂自己的陣腳。於是，停止了矩陣體系運算系統的開發了。
Win32Forth 系統，可以順利的執行出這個程式。純粹只處理整數的數學問題，這類程式都能這樣被直接執行得出來。
高階二項式 (a+b)**n 的展開式，每一項的係數所形成的固定變化，曾被一位法國的數學家叫布萊斯‧巴斯卡（Blaise Pascal，1623年6月19日－1662年8月19日)，妥善整理出來，是一個漂亮的三角塔式的係數數列，故得其名。但實際上，對這個問題有過研究的古老文獻，非常的多，顯然，發現人並不是巴斯卡，甚至於中國人也有，這方面，就不用去考究了，我們直稱其為巴斯卡三角塔便可。
巴斯卡三角塔並不容易被電腦程式漂亮的印出來，為了方便，只適合把三角塔印成上三角矩陣，或者是下三角矩陣。因此，這個程式的題目，就要求計算出把這兩種矩陣加起來後的結果到底為何？
我控留此程式的目的，主要是因為這樣的題目能磨練程式的寫法，另外，也是個能夠用來驗證矩陣的資料結構設計得是否正確之題目。算是一個優良的測試材料。關於磨練程式設計技術的部份，請自行看看程式本身，就能了解。關於驗證資料結構是否正確的問題，則還能進一步探討。
巴斯卡三角塔的整齊結構，易於只用肉眼觀察，就能看出對錯。兩個矩陣相加後，因為元素內容的花樣，係與對角線對稱，也易於只用肉眼觀察，就能看出對錯。一般而言，我們使用的電腦，宣告出 20X20 的矩陣，螢幕上尚能印出不需跳列的輸出，能測試到這樣的尺度，大約也足夠表示設計無誤了。
所謂的進一步探討，並不絕對需要，但對矩陣運算系統的設計與發展而言，就很有必要。大家可以看看程式的寫法，您能發現，就算要把矩陣印出來，也得在被印出程式之指令外面，先行宣告出矩陣的維度，才辦得到。後續那個矩陣的加法運算，亦然。這就表示，寫成的這套程式，代表著所有的矩陣運算程式都得這樣處理。
我在發展出許多數學計算系統後，自覺能夠改善矩陣體系運算系統的性能，能夠設計得出 M+ , M- , M* , M/ , Mx , M. , 1/M , Mt , M0 , Mneg ..... 等等，可以不管宣告維度是多少，就能直接使用的運算指令。這樣的性能，必須依靠矩陣在宣告產生時，就把維度也存在資料結構中才行，我辦到了這項設計，但沒有進行矩陣運算系統的發展，因我個人很少有接觸這方面問題的機會。
事實上，我還有許多的構想，可以設計出更多的數學運算體系，都很有意義。但自從進入 64 位元的環境後，面對的系統發展問題，不是更多的數學體系，而是更多的不同 Forth 基本平台。因此，發現研究的主要方向，自己必須嚴格把握住，才有發展的坦途可走。整個系統的基礎，若不專心設計得更好，發展再多的數學體系，只會弄亂自己的陣腳。於是，停止了矩陣體系運算系統的開發了。
Win32Forth 系統，可以順利的執行出這個程式。純粹只處理整數的數學問題，這類程式都能這樣被直接執行得出來。
\ (98) Pascal matrix generator 4 integers i j k n 20 20 (matrix) mm : i-1 i 1- ; : j-1 j 1- ; : printmm basic 100 for i = 1 to n 110 for j = 1 to n 120 let k = mm ( i j ) 130 run k 8 .r space 140 next j 150 run cr 160 next i 200 end ; : upm basic 10 for j = 1 to n 20 let mm ( 1 j ) = 1 30 next j 40 for i = 2 to n 50 let mm ( i 1 ) = 0 60 for j = 2 to n 70 let mm ( i j ) = mm ( i-1 j-1 ) + mm ( i j-1 ) 80 next j 90 next i 500 end ; : lpm basic 10 for i = 1 to n 20 let mm ( i 1 ) = 1 30 next i 40 for j = 2 to n 50 let mm ( 1 j ) = 0 60 for i = 2 to n 70 let mm ( i j ) = mm ( i-1 j-1 ) + mm ( i-1 j ) 80 next i 90 next j 500 end ; : spm basic 10 for i = 1 to n 20 let mm ( i 1 ) = 1 :: mm ( 1 i ) = 1 30 next i 40 for j = 2 to n 50 for i = 2 to n 60 let mm ( i j ) = mm ( i j-1 ) + mm ( i-1 j ) 70 next i 80 next j 90 end ; : pascal ( n -- ) [[ n ]] ! basic 10 run cr upm 20 run cr printmm 30 run cr lpm 40 run cr printmm 50 run cr spm 60 run cr printmm 70 end ; page 5 pascal
第(99)個範例是在『Euler數學問題網頁』中，條列之一個問題的電腦程式解法。
問題問：直角三角形的邊長為 1000 ，請問三邊邊長均為整數時的長度各為多少？
Euler’s 數學問題網頁，是一個最近兩年才聞名起來的網頁，所出問題，大部分是需要能夠運算大數目字的系統才能解答的題目，現已大約收集了六百多個問題，貼出在網上，讓人隨意發揮。剛開始時，網頁出入管制，沒有那麼嚴格，我有空時，就會去拿題目，試一試自己的系統，那時，大約我都能解，解題時，只覺得必須全靠電腦，很難有單憑思考就能解析出來的題目。後來，該網頁開始進行管制了，必須登記身份才能使用，我就放棄了追蹤。
話雖如此，那種數學題目，反而代表了現今網路環境熱門話題的演變趨勢，都屬於同一類型的問題。例如，要您從海量資料中，比對出合乎指定條件的網上訊息，您就得像處理無限位數的大數那樣，把一小節數字用電腦找出來。所以，這個數學問題網頁的建立，是一個時代的產物。以後，如果您有興趣也有本領解這種題目，就可以根據名稱，自行前往該網頁進行探索。我不參與，所以也沒留網址，但很容易搜索得到。
我留下這個程式的目的，除了題目優良外，還有個簡單意義，就是畢氏定理的運用，能讓我寫成的程式，比別種程式語言的語法更為清楚、簡單。本來，問題的表面只有ㄧ個條件，就是 a+b+c=1000 ，其中，有兩個獨立變數，一個因變數，條件只有一個時，沒辦法有特解，只能有也附帶條件式的通解。如果學過了數學上的畢氏定理，您就知道另有一個很好的輔助條件可以利用，也就是斜邊的平方必須等於另兩個直角邊之各自平方的和，亦即 a**2+b**2=c**2 。
這麼一來，寫程式時，語法好的系統，就很容易讓人看懂，執行起來，就不容易出差錯， BASIC 程式語言的語法，就具有這種優點。仔細看這不到十列的程式，使用兩個環路、一個邏輯判斷來完成，兩個環路就是給兩個獨立變數用的，範圍就指定在 1 到 1000 之間。邏輯判斷就只給畢氏定理使用，以取得因變數之值，合條件者就是答案，不合條件者就不是答案。這樣的電腦解法，讓普通人純用手算，就會成為不切實際的解題方法，用電腦算，又快又準，立刻就能得到答案。此程式，只處理整數，就可以在我設計的系統中執行得出來，我就不在此處提供解答，印出來的答案一定對，您可以自行核算。
本來， Forth 系統的本質，就是一種具有延伸性的程式語言，我沒附加 BASIC 式語法的執行能力前，早就有名家為 Win32Forth 系統添加了組合語言的功能，只是後來大家都不太使用了，所以罕有人再強調。但是，這套 Win32Forth 中的 Assembler 非常有名，許多專門介紹組合語言的網頁中，竟然也把這套組合語言列為一套正式的特產，性能既好也完整。
事實上，我自創添加進去的 BASIC 式語法，等同於 Forth 系統中的 Assembler ，就是 Forth 中的 BASIC 。
一旦一套 Forth 系統，同時具有以他種語言之語法執行出結果的功能時，這個 Forth 系統，就也具有能夠在語法中互相來去、交流穿插的功能。這也就是為什麼我能利用這種精神，在 BASIC 語法中創建出一個 RUN 指令的原因。我把雙方語言的特質都搞清楚了，賦予這種好處，就不是難事。這樣的發揮， Forth 系統的發明人並沒有善加利用。實際上，他有點痛恨 BASIC 在當年霸佔市場的強勢狀態，那時，他好像是只為了要藐視一下 BASIC ，才發表了他的那篇 Tiny BASIC Compiler 論文。我，則是取長補短，設計出了自己的東西。
另外， Charles H. Moore 終生都痛恨浮點數運算，所以他也從來不寫浮點數運算方面的程式。這一點，我個人認為不對，所以，我自創系統中所有的浮點數計算功能，如何實現？都是我自己安排、自己實現的設計。當然，仍屬於 Forth 浮點範疇的部份，只要能師法於現成的成果，我就取用，如果沒有，我就自行設計，現在也已很熟了。
我仍然是站在巨人的肩膀上創作系統，自己的成就只有一小部份。
問題問：直角三角形的邊長為 1000 ，請問三邊邊長均為整數時的長度各為多少？
Euler’s 數學問題網頁，是一個最近兩年才聞名起來的網頁，所出問題，大部分是需要能夠運算大數目字的系統才能解答的題目，現已大約收集了六百多個問題，貼出在網上，讓人隨意發揮。剛開始時，網頁出入管制，沒有那麼嚴格，我有空時，就會去拿題目，試一試自己的系統，那時，大約我都能解，解題時，只覺得必須全靠電腦，很難有單憑思考就能解析出來的題目。後來，該網頁開始進行管制了，必須登記身份才能使用，我就放棄了追蹤。
話雖如此，那種數學題目，反而代表了現今網路環境熱門話題的演變趨勢，都屬於同一類型的問題。例如，要您從海量資料中，比對出合乎指定條件的網上訊息，您就得像處理無限位數的大數那樣，把一小節數字用電腦找出來。所以，這個數學問題網頁的建立，是一個時代的產物。以後，如果您有興趣也有本領解這種題目，就可以根據名稱，自行前往該網頁進行探索。我不參與，所以也沒留網址，但很容易搜索得到。
我留下這個程式的目的，除了題目優良外，還有個簡單意義，就是畢氏定理的運用，能讓我寫成的程式，比別種程式語言的語法更為清楚、簡單。本來，問題的表面只有ㄧ個條件，就是 a+b+c=1000 ，其中，有兩個獨立變數，一個因變數，條件只有一個時，沒辦法有特解，只能有也附帶條件式的通解。如果學過了數學上的畢氏定理，您就知道另有一個很好的輔助條件可以利用，也就是斜邊的平方必須等於另兩個直角邊之各自平方的和，亦即 a**2+b**2=c**2 。
這麼一來，寫程式時，語法好的系統，就很容易讓人看懂，執行起來，就不容易出差錯， BASIC 程式語言的語法，就具有這種優點。仔細看這不到十列的程式，使用兩個環路、一個邏輯判斷來完成，兩個環路就是給兩個獨立變數用的，範圍就指定在 1 到 1000 之間。邏輯判斷就只給畢氏定理使用，以取得因變數之值，合條件者就是答案，不合條件者就不是答案。這樣的電腦解法，讓普通人純用手算，就會成為不切實際的解題方法，用電腦算，又快又準，立刻就能得到答案。此程式，只處理整數，就可以在我設計的系統中執行得出來，我就不在此處提供解答，印出來的答案一定對，您可以自行核算。
本來， Forth 系統的本質，就是一種具有延伸性的程式語言，我沒附加 BASIC 式語法的執行能力前，早就有名家為 Win32Forth 系統添加了組合語言的功能，只是後來大家都不太使用了，所以罕有人再強調。但是，這套 Win32Forth 中的 Assembler 非常有名，許多專門介紹組合語言的網頁中，竟然也把這套組合語言列為一套正式的特產，性能既好也完整。
事實上，我自創添加進去的 BASIC 式語法，等同於 Forth 系統中的 Assembler ，就是 Forth 中的 BASIC 。
一旦一套 Forth 系統，同時具有以他種語言之語法執行出結果的功能時，這個 Forth 系統，就也具有能夠在語法中互相來去、交流穿插的功能。這也就是為什麼我能利用這種精神，在 BASIC 語法中創建出一個 RUN 指令的原因。我把雙方語言的特質都搞清楚了，賦予這種好處，就不是難事。這樣的發揮， Forth 系統的發明人並沒有善加利用。實際上，他有點痛恨 BASIC 在當年霸佔市場的強勢狀態，那時，他好像是只為了要藐視一下 BASIC ，才發表了他的那篇 Tiny BASIC Compiler 論文。我，則是取長補短，設計出了自己的東西。
另外， Charles H. Moore 終生都痛恨浮點數運算，所以他也從來不寫浮點數運算方面的程式。這一點，我個人認為不對，所以，我自創系統中所有的浮點數計算功能，如何實現？都是我自己安排、自己實現的設計。當然，仍屬於 Forth 浮點範疇的部份，只要能師法於現成的成果，我就取用，如果沒有，我就自行設計，現在也已很熟了。
我仍然是站在巨人的肩膀上創作系統，自己的成就只有一小部份。
(99)euler9 \ Subject: Project Euler Problem 9 : unique Pythagorean triple summing to 1000 \ a+b+c=1000 3 integers a b c : main basic 10 for a = 1 to 1000 20 for b = a to 1000 30 let c = 1000 - a - b 40 if ( a * a + b * b ) = ( c * c ) then 60 50 goto 70 60 print a , b , c 70 next b 80 next a 90 end ;
第(100)個範例，是一個能夠操作出讓單一個位元為 1 或為 0 的工具程式。
整台電腦中任一位址的內容，可以被取來放入 bitbuffer 變數內，然後才用這個程式中的操作指令，來令其中的單一個位元成為 1 或成為 0 。
操作的方法，在程式中有舉例，也只列出了一個顯示結果，要怎樣用才會更為方便？請自己加添設計出更簡單的指令，就能隨您所願。原本這個程式是在 64 位元環境中由 Bob Dickow 設計的，我試用後覺得比我自己設計的更好用，程式略作修改後，就被收集進這個範例了。
這種『位元操作』能力的展現，是一種 Forth 程式語言之特殊性能，別種程式語言都很難辦到這麼方便的設計格式，我用了 40 多年的 Forth ，只要想到要進行一些位元操作的工作時，深知非 Forth 莫屬。
我設計過一份以 Wina32 為平台，全由叫用硬體 co-processor 方式來完成所有浮點計算工作的系統。那個系統是標準 32 位元的設計，數據在 CPU 與 co-processor 間傳遞，執行所有的軟體指令都沒問題，硬體接線也與數據傳輸要求規格相符，所以，我很快便完成了設計，實際使用時，也很方便，很快就完成了 ABC Forth 的增建。
後來，我轉往 64 位元以 Lina64 為平台重新發展系統時，首先遭遇到的問題，就是從 CPU 內傳送 64 位元的單整數當 32 元的雙整數到 co-processor 後，因為硬體接線的格式與 32 位元者完全不同，我就不能再用 co-processor 設計浮點系統了。這問題不單純只是軟體指令的不能使用而已，硬體接線與數據傳輸時脈規格也完全不同，所以不能再寫組合語言實現同樣的夢想。除非能令系統回到 32 位元執行浮點運算，算完，再回到 64 位元系統顯示結果，這很麻煩，叫用 C 的庫存程式可以完成，但 gForth 系統就顯示了執行速度非常慢的問題，不值得這樣做。
我為什麼知道上述問題？就是因爲我使用了 Forth 的位元操作能力，仔細的測試過問題。把簡單位元花樣的數字，在 CPU 與 co-processor 間來回傳輸、簡單執行，再印出前後結果，一經比對，發現連一個簡單位元花樣的 1.2E0 浮點數，都沒辦法處裡得正確。無論以軟體設計了多少個委屈程式，都沒辦法獲得正確的結果。最後，只好放棄使用硬體，改成走自創純軟體設計之十進制浮點系統的發展方向，現已完成了設計。
這百例中，有許多範例都是我在發展系統期間所使用的工具程式，都有著深刻的印象與使用經驗，這些範例都不是幾天之內就能完成的研究，它們能用時，都是經過長久研發與各種測試步驟後，才得到的結果。
我貼完了百例，也對自己過去所做過的工作，進行了一次完整的複習，對我自己而言，很有益處。
整台電腦中任一位址的內容，可以被取來放入 bitbuffer 變數內，然後才用這個程式中的操作指令，來令其中的單一個位元成為 1 或成為 0 。
操作的方法，在程式中有舉例，也只列出了一個顯示結果，要怎樣用才會更為方便？請自己加添設計出更簡單的指令，就能隨您所願。原本這個程式是在 64 位元環境中由 Bob Dickow 設計的，我試用後覺得比我自己設計的更好用，程式略作修改後，就被收集進這個範例了。
這種『位元操作』能力的展現，是一種 Forth 程式語言之特殊性能，別種程式語言都很難辦到這麼方便的設計格式，我用了 40 多年的 Forth ，只要想到要進行一些位元操作的工作時，深知非 Forth 莫屬。
我設計過一份以 Wina32 為平台，全由叫用硬體 co-processor 方式來完成所有浮點計算工作的系統。那個系統是標準 32 位元的設計，數據在 CPU 與 co-processor 間傳遞，執行所有的軟體指令都沒問題，硬體接線也與數據傳輸要求規格相符，所以，我很快便完成了設計，實際使用時，也很方便，很快就完成了 ABC Forth 的增建。
後來，我轉往 64 位元以 Lina64 為平台重新發展系統時，首先遭遇到的問題，就是從 CPU 內傳送 64 位元的單整數當 32 元的雙整數到 co-processor 後，因為硬體接線的格式與 32 位元者完全不同，我就不能再用 co-processor 設計浮點系統了。這問題不單純只是軟體指令的不能使用而已，硬體接線與數據傳輸時脈規格也完全不同，所以不能再寫組合語言實現同樣的夢想。除非能令系統回到 32 位元執行浮點運算，算完，再回到 64 位元系統顯示結果，這很麻煩，叫用 C 的庫存程式可以完成，但 gForth 系統就顯示了執行速度非常慢的問題，不值得這樣做。
我為什麼知道上述問題？就是因爲我使用了 Forth 的位元操作能力，仔細的測試過問題。把簡單位元花樣的數字，在 CPU 與 co-processor 間來回傳輸、簡單執行，再印出前後結果，一經比對，發現連一個簡單位元花樣的 1.2E0 浮點數，都沒辦法處裡得正確。無論以軟體設計了多少個委屈程式，都沒辦法獲得正確的結果。最後，只好放棄使用硬體，改成走自創純軟體設計之十進制浮點系統的發展方向，現已完成了設計。
這百例中，有許多範例都是我在發展系統期間所使用的工具程式，都有著深刻的印象與使用經驗，這些範例都不是幾天之內就能完成的研究，它們能用時，都是經過長久研發與各種測試步驟後，才得到的結果。
我貼完了百例，也對自己過去所做過的工作，進行了一次完整的複習，對我自己而言，很有益處。
\ (100)FORTH BIT Arrays , by Bob Dickow dickow@turbonet.com \ version 1.0.3 Mar 2, 2018 \ Notes: \ endian agnostic, address unit agnostic (untested) \ Vocabulary (internal dependencies) ^2MASKS bmask _BIT@ \ Vocabulary: 2^ BIT@ BIT! BOOL@ BOOL! \ BOOL@ and BOOL! are convenience words to avoid converting FALSE to 1 \ 2^ may be handy outside the array access words. Included for compatibility with earlier versions \ Buffers for a bit array should be a minimum of 1 CELL in size DECIMAL CELL 8 * CONSTANT AddressUnit \ 8 is bits in a byte \ calulates the power of 2 ( n -- 2^n ) : 2^ ( n -- 2^n ) 1 swap lshift ; \ compiling word, creates an array of CELL * 8 powers of 2 for masking use in the array fetch and store words. \ does: ( nindex -- nvalue ) \\ nindex is 0, 1, 2 ... giving 2^31, 2^30, 2^29 ... 2^0 : ^2MASKS (-- ) CREATE 0 AddressUnit 1- DO i 2^ , -1 +LOOP DOES> SWAP CELLS + @ ; ^2MASKS bmask \ lookup table of powers of 2 for the BIT@ and BOOL@ words \ factored out, internal use by BIT@, BOOL@ : _BIT@ ( caddr n-index -- n ) AddressUnit /MOD ( caddr n n ) CELLS ( caddr n n ) ROT + ( n caddr ) @ SWAP ( nval n ) bmask AND ( n ) ; \ given a memory buffer address caddr and index n representing at bit-wise \ index, return the value of the bit at that index as 1 | 0. : BIT@ ( caddr n-index -- n ) _BIT@ ( n ) 0= NOT ABS ; \ store a value TRUE|FALSE or 1|0, given the value (TRUE|FALSE or 1|0), an address, and a bit-wise index \ (synonym for BOOL! below) : BIT! ( n-value caddr n-index -- ) ROT ABS 1 AND ( caddr n n ) \ bounds check IF ['] OR ELSE ['] XOR THEN >R \ set masking op AddressUnit /MOD ( caddr n n ) CELLS ( caddr n n ) ROT + DUP ( n caddr caddr ) @ ROT ( caddr caddr nval ) bmask R> EXECUTE ( caddr n ) SWAP ! ; \ given a memory buffer address caddr and index n representing at bit-wise \ offset, return or store the value of the bit as TRUE|FALSE values. : BOOL@ ( caddr n-index -- flg ) _BIT@ ( n ) 0= NOT ( n ) ; \ Synonym for BIT! \ store a value TRUE|FALSE ( or 1|0 ), given the value n, a base address of the array, and a bit-wise index into it. : BOOL! ( n caddr n-index -- ) BIT! ; DECIMAL \ create the buffer: CREATE bitbuffer 2 CELLS ALLOT \ initialize buffer to all on bits: \ 4294967295 DUP bitbuffer DUP ROT ROT ! CELL+ ! -1 DUP bitbuffer DUP ROT ROT ! CELL+ ! \ store a bit at position 34 0 bitbuffer 34 BIT! 0 bitbuffer 67 bit! 0 bitbuffer 127 bit! \ for lina64 : bottomruler130 cr ." 01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 " cr ." 0=========1=========2=========3=========4=========5=========6=========7=========8=========9=========0=========1=========2=========3 " cr ; : binary 2 base ! ; : (du.) <# #s #> ; : du. (du.) type bottomruler130 ; \ test it: bitbuffer 2@ binary du. decimal \ displays: 1111111111111111111111111111111111011111111111111111111111111111
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