韓信點兵
曾慶潭 Ching-Tang Tseng
ilikeforth@gmail.com
Hamilton, New Zealand
16 August 2026
此前貼出過之百例中的第 81 例展示過一個韓信點兵的精簡程式，該程式採用暴力計算方式，只按問題直接強行計算，算到全部合乎指定條件後，得到解答。
本文中的程式則將問題建立成表格來計算，執行對答方式輸入問題，以敘述方式給出答案。
如果不能寫出不同的見解，就不該寫這篇文章，以免浪費讀者的寶貴時間。因為這是一個古老的中國算學技術，是西元前 200 年(韓信死於西元前 196 年)左右的問題，距今約 2200 年了。
中國秦朝末年，楚漢相爭，結果漢高祖劉邦打敗項羽取得天下，建立了漢朝。那時，有所謂的漢初三傑：指的就是韓信、張良、蕭河。韓信是個軍事奇才，曾經擔任軍隊的總司令，被任命為大將軍，協助漢高祖劉邦打天下，但不幸最後卻因被懷疑意圖謀反，而被蕭河及呂后(呂雉)騙入宮中，處死於長樂宮鐘室。
中國人無人不知、無人不曉『韓信點兵』的問題，卻罕有人能熟記，解這個問題的詳細理論依據，或將其學通後加以活用，或用來解出其他所有相關與類似的問題，這種情況，經過了兩千多年，甚至於一直到今天，依然如此。
據說，這個問題還曾經被納入高中的數學教材，可以想像，數學老師教起來必然辛苦，學生也學得痛苦。我不記得我在高中學習不定方程式(Indeterminate equations)時，必須學這項主題，就算學過，也早就忘了教材中曾經教過我，該如何按邏輯嚴格演繹以求得解答的詳細步驟了，反而是單一種逐步計算的方法，我終生都記得。
本文就專門只談論這種永遠記得住的解題方法，它確實就是各種方法中的一個好方法，還可以用來實現一個永遠可以存在、放諸四海而皆準的程式，要完成這樣的程式，也必須按邏輯嚴格演繹，設計出來的程式，此後才能古今中外都派得上用場。
科學月刊中現代數學名家的『韓信點兵』文章內，批評只有『答案』與『計算技巧』的堆積，無法顯現『數學的妙趣』，我百分之百同意這樣的觀點。但是，我反對為了培養『數學的妙趣』，而刻意略去能夠直接了當解得問題答案的最簡單方法。試想，如果無限多個『韓信點兵』式的問題堆積在眼前，您該怎麼辦？當精簡的『演算技巧』，與絕對需要的『答案』，您都遲遲難以獲得時，請問，您那來的『數學妙趣』？因此，我改而另覓它途，解決『韓信點兵』問題。把思考轉向電腦程式的邏輯嚴格演繹，而不是純粹數學的邏輯嚴格演繹，完成一個對談式萬用程式，包括落定美觀的排版所耗時間，大約只花兩小時，但是，『它』今後可以永遠有用。
這篇文章的目的，並不是想否定所有有關『韓信點兵』問題的理論分析教學，相反的，我仍鼓勵大家能學通以『韓信點兵』為例而安排出來的理論分析教材內容，畢竟，它相關於其他的數學學問，適合作為人人都熟悉的問題範例。
至於想實際解出這個問題的答案時，我個人覺得，現今，應該用電腦程式來解，而且，要將程式設計成對談式的萬用程式，至少，讓這個問題今後都能如此方便的解得答案。原因在於，一方面電腦幾乎是當今人人生活上必用的工具，那麼，電腦程式解題的方法，只要能合理解得正確的答案，就該認同這個方法，沒有理由硬要排除它。另一方面，則是現行電腦的執行速度與友善的操作環境，已經發展得相當完善了，適合作為解決這種問題的工具。我將電腦程式設定成逐步計算到達十萬次以上時，就當作可以落定題目為無解，使用已經 20 幾年高齡的電腦，也不過耗時僅約一秒。為何不用電腦程式來解問題？我堅決反對拒教電腦解題技術，不教就違反時代趨勢。
台灣發行的『科學月刊』，算得上是一本優良的普及性科學雜誌，我也愛讀，雜誌內容曾經出現過許多次談論有關『韓信點兵』的討論文章。
來自四面八方的數學專家，與各大學的許多教授，都曾為『韓信點兵』問題，寫過精闢的解題方法分析文章。如果您對求解此一問題之純粹理論性的分析有興趣，可以在網上搜索出不下百篇的文章來，國際上將這種問題命名為『中國剩餘定理』(Chinese Remainder Theorem)。為了要完成本文，我做過這樣的工作，快速瀏覽這些文章後，只有一種感覺，實在不想、也根本無法記下所有的邏輯推演步驟，今生再度碰到『韓信點兵』問題時，我還是只會逐步計算，使用規律增量式的逐個試算，最後絕對能得到正確的答案。
我都已經 75 歲了，記那些解題時必須要用到的定理、定律，與專門只用於解這種問題時，才需要使用的特別符號，有必要嗎？今天記了，大概明天就忘了，何苦來哉？
為『韓信點兵』問題而公開發表過的那些高明分析文章，仔細讀完之後，對我而言，充其量也只能讓我感到各文章作者言之有理，對必須解決實際問題的最基本要求，則實在幫助不大，更遑論憑此而能衍生出更高深的知識或技術了。換句話說，那些文章該看，至於能不能因此而領悟出連貫性知識或技術？那就得看個人對此一問題的進一步修行意願了，結果絕對因人而異，而願意前行者少。
最原始的『韓信點兵』問題，節錄如下：
兵不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，最少兵數應該是多少？
問題可以改寫成現代人使用之數學符號表示的聯立方程式，列示如下：
X = 3 * Q(1) + 2
X = 5 * Q(2) + 3
X = 7 * Q(3) + 2
這是一個只有三個已知關係的數學聯立方程式，卻要求解四個未知變數X、Q(1)、Q(2)、Q(3)。因為還差一個已知數學關係式，所以使這種問題被歸納入不定方程式的範疇。解答必須為整數的隱含要求，是代表兵士不得為半個人，或 3.1416 個人。
為了本文隨後表示上的方便，此處刻意引用『科學月刊』中，數學專家所使用的更精簡表示符號，以 S(N|R) 來表示問題，它代表 S 以 N 除之餘 R ，S 代表這種所有數字的集合，上列三個式子因此而得以進一步簡化表示成：
S(3|2) , S(5|3) , S(7|2)
直接逐步演算的方法為：
(1) 先找出條件中最大除數的那一項條件，以此數作為整個演算的基底數字。
在上列原始問題中為 7
(2) 設定一個計數器，令其從 1 開始計數，然後算出第一個可能符合條件的數字。
在上例中為 7*1+2=9
(3) 用(2)中得到的數字，去核算並判斷是否亦符合其他條件。
在上例中， 9/3=3 餘 0，9/5=1 餘 4 ，結果與原已知條件均不符合
(4) 回到(2)中將計數器值加 1 ，繼續(3)的核算，直到滿足所有條件為止，便可得到一個首先能夠獲得的答案。
在上例中，當計數器為 3 時， 7*3+2=23，23/3=7 餘 2 ， 23/5=4 餘 3，符合要求，因此， 23 就是一個首先獲得的答案。
故事書上說，漢高祖劉邦聽不懂韓信的兵數描述，轉問張良，張良卻回話說：『兵數無法算，不可數。』
這樣的回答不對，方法就像上述這麼簡單，算 3 次後就可以得到一個核心基本根據數字，數學專業術語稱作『特解』，接下來要形成『通解』時，答案就是特解加上任意一個正整數乘上所有已知條件中的除數，在上例中為：
23 + N * ( 3 * 5 * 7 ) = 23 + N * 105 其中 N = 0, 1, 2, .....
這就是全部求解『韓信點兵』問題的逐步計算法，我相信，任何人看過上述解題方法的敘述之後，都能終身記得，都能終身使用，我的程式也就是根據這麼簡單的方法設計而成的。
通常我們求解一個數學問題時，首先要確定問題的答案是否『存在』(Exist)？上例中求得的23，表示答案確實存在，它就可以被確定是問題的一個特別解答，簡稱『特解』(Particular solution)。接下來要確定問題的答案是否為『唯一』(Unique)？經過仔細研究後，我們發現這種問題的解答不是唯一的，其特解23加上所有除數相乘後再乘上任意一個正整數，也都是問題的答案，因此，我們必須將所有的解答以適當的數學式子表示出來，以形成這個問題全部的通盤解答，簡稱『通解』(General solution)。數學理論中解答的『存在』與『唯一』性質，對應到解答的『特解』與『通解』，這個『韓信點兵』問題的通解，僅只是由簡單的乘法來形成，沒有其他任何技巧，因此，本文只討論問題的特解，程式中也不計算出簡單的通解，特此聲明。
由此看來，下一次考試碰到這樣的問題時，別再依靠那些無法終身記得的分析式演繹算法了，我能確定大多數人，僅能暫時性的理解分析演繹法，如果背下方法，考完就忘了，那又何須浪費時間去背記？將這些用來理解與背記所需的時間，改用來思考解決其他的學習問題，可能比較有意義。通常，上述計數器只須計數幾次，答案就可以獲得，因為考題所給的除數都不會太大，經常是個位數，已知條件也不會太多，一般就只有二或三個，取一張計算紙，列個表，快速心算後在每一列後面做個記號，很快就會有結果，如果嫌計算冗長，影響求解其他問題，那麼，這一題留到最後才解。
平時呢？您也不必怕我這樣強調性的教您如此求解問題會害了您，就根據上述逐步演算法，我寫成了永遠都能使用的對談式萬用程式，列示於本文內，使用時，可以在電腦開機後，只操作滑鼠點選三、四次，就有一個我設計而命名為 MAIN 的指令可以直接使用。好好的使用，它就能幫助您一天內解出幾千幾百個『韓信點兵』問題。碰到子女問您同樣的問題時，就算您不懂韓信如何點兵，這個對談程式會協助您，給予您滿意的答案，讓全家人皆大歡喜，然後，您就有信心告訴子女，應該好好學 FORTH 程式語言， FORTH 能設計出所有的程式。
我原本全部使用中文設計出這個程式，完成之後，考慮本文可以供給全世界的人參考使用，於是又將一般程式部份改成了英文，如此一來，也能供給慣於使用其他程式語言者，參考後模仿設計。
我瀏覽過網路，搜索能解『韓信點兵』問題的實際可用程式，大部份都是用 C 或 Python 程式語言寫的，由於 C 不方便用來設計立即對談式(Real time interactive)程式，因此，那些程式都只能解單一個韓信 2200 年前提出來的最原始問題，我用心算都可以比發展那樣的程式還快速的得到答案，所以那些程式沒有價值。
時代不同了，現代電腦的記憶體用量與執行速度，在用來解決這種問題而必須設計程式時，已經不用強調要節省記憶體空間與程式執行效率的問題。相反的，為了讓大多數人看過程式之後，能夠一目了然，我將程式設計成不在乎多執行了一些步驟，要用到的變數宣告量，也不用斤斤計較到要強調共用而節省。程式可執行出合理範圍內的答案，韓信不會有億萬大軍，解放軍再多，也只能論及幾百萬，這是一個兼顧了實際情況的程式。
採用對談式程式語言(如 FORTH )來設計這種程式，比採用編譯式程式語言(如 C )要好，使用方便且具彈性。我的程式中雖然暫時只規劃了可以輸入最多十組已知條件，要變通時，只需修改這個設定，但當已知條件多於十個以上時，程式改成輸入數據預置於檔案程式內的方式會比較好，可以防止一鍵敲錯而滿盤皆輸必須重來的困擾。這個程式是透通的， FORTH 是必須使用模組化格式設計程式的語言，想改寫程式，簡單之至，這就是 FORTH 。
七十年前，我們唸小學高年級時，每天幾乎都要習作 50 題當年『武明算術』內的習題，我不曾不交作業，學習方面只是認真但不聰明，可是這些學習方式，影響了我的一生，這樣的學習過程，可能是決定了我能否快速設計出電腦程式來解決問題的關鍵因素，我的小學老師是內壢國民小學的范金櫻老師，能有現在的能力，該感謝我的老師。
今天，此處列示的這個有用程式，它不僅只是代表了我寫成一個實用的程式，而是代表了我設計出一套永遠都容易建立的可對談式數學計算系統，然後讓大家可以很方便的設計程式，來解決所有的數學計算問題。截至目前為止，全世界尚無人能比，而這個系統還要發展。系統並非完全由我個人隻身獨立發展而成，我善用組合能力，組合了許多名家的長處來創造出系統，也因此而令其性能傑出，也因此而令系統隨時都還能繼續發展。
我出身軍人世家，自己也是被國軍淘汰下來的職業軍人，俗話說：『好鐵不打釘，好漢不當兵』，這句俗話是錯的，全世界不是軍人的人，此前還沒有人有能力，像我這個出身為軍人的人，設計出這麼方便且能夠處理許多問題的 ABC FORTH 數學計算系統，而我卻曾經是個『兵』。軍中的同袍，也請不要妄自菲薄，平時就該努力充實自己，設法接受我的這個 ABC FORTH 數學計算系統。戰時，軍方需要快速且大量的軍事作業研究(Operation research)來提供制敵的先機，其中許多問題需要大量的數學計算。目前，全世界還找不到像 ABC FORTH 那麼方便的系統，可以立即執行，可以對談式操作，專門用來處理數學計算，能夠快速處理這種『韓信點兵』式的問題。善用這樣的系統，在技術上就可以勝過一個韓信總司令，我不會像韓信那樣，將秘笈祖傳起來，下列就列示一個祕笈。
接下來，我先以前述『科學月刊』中最佳的問題表示符號，列示十二個曾經被提出來當範例的『韓信點兵』典型問題，供作程式測試之用，接著列示我所設計的程式。最後，我將程式載入 ABC FORTH 系統，直接操作系統，求解這十二個問題，執行的結果當然都是正確的，全部顯示在畫面上。再操作滑鼠，選定執行結果所產生的整個畫面，令其反白、複製、再轉貼入此文，讓讀者能夠完完整整的看到整個結果。
如果您願意實際體會執行這個程式後，快速得到正確答案的感覺，所呈現出來的現象將會是：每當您輸入了 MAIN 指令後，就會有一個滿意的終結。不想再執行 MAIN 指令了，也可以改執行 CHECK 指令，去看一下程式內的資料內容，或者就輸入 SEE MAIN 兩個指令，看系統把我設計的程式編成甚麼模樣了？顯示出來的這些現象，係 FORTH 程式語言一旦執行起來之後，就會顯現作業系統的性能所致。這是 Win32Forth 系統的作者 Tom Zimmer ，在網路論壇上給全世界 FORTH 使用者的善意建議，我提供了全套應用實例，您請自己體會。
請注意問題(6)無解，程式執行後就顯示無解。
問題(1)就是歷史上韓信提出來的第一個問題，它再簡單，程式也要能解。
問題(9)的答案比較特別，是除數全乘起來以後再除以2，程式也毫不含糊的快速顯示正確的執行結果。
現任學校的老師，如果想要隨便出幾個題目來考學生，利用這個程式，隨便輸入一些組合條件，就能先行得到答案，這些條件，就能當作別人從未出過的考題來考學生。
學生只要肯學 FORTH ，就能利用這個程式來對付老師的刁難。
一天之內，您想解出成千上萬個這種問題的答案，怎麼沒有可能？
總而言之，這個程式是方便而萬用的。
我則能擔保，永遠都有能夠執行這個程式的系統存在世上。
●十二個典型的問題為：
(1) S(3|2) , S(5|3) , S(7|2)
(2) S(7|1) , S(8|2) , S(9|3)
(3) S(11|3) , S(12|2) , S(13|1)
(4) S(2|1) , S(5|2) , S(7|3) , S(9|4)
(5) S(5|0) , S(6|1)
(6) S(12|5) , S(18|13)
(7) S(12|5) , S(18|17)
(8) S(15|7) , S(21|13) , S(10|2)
(9) S(11|1) , S(13|2) , S(15|3) , S(17|4) , S(19|5)
(10) S(3|1) , S(5|2) , S(7|4)
(11) S(8|1) , S(7|1) , S(5|2)
(12) S(7|3) , S(11|5) , S(13|8)
●程式及執行結果列示如下：
