常微方程式之 Runge-Kutta 解法

常微方程式之 Runge-Kutta 解法

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

2 April 2026

本文專注於引用單一文獻，將一個標準的 FORTRAN 程式，直接改寫成 ABC FORTH 數學計算系統可以執行的程式。改寫的方式幾乎是一列一列對應式的翻譯，執行解得的答案必須與原資料文獻一致，操作的便利性必須符合現今時代潮流，內容則是一個實用的數值分析標準範例。

參考文獻源自：

Brice Carnahan, H. A. Luther, James O. Wilkes, “Applied Numerical Methods”, Chapter 6. Example 6.3. p.367 ~ p.380,

“Forth-order Runge-Kutta method - transient behaviour of a resonant circuit”

本文的主要目的，並不想詳細講解，如何使用計算機設計程式來求解常微方程式？也不想詳細介紹所謂的 Runge-Kutta method ，數值分析專門書籍內可以找到這方面的知識，上述文獻就是非常完整的標準教材。重點集中於強調：如何將任何 FORTRAN 數值分析程式改寫成 ABC FORTH 程式？並展示，大型、複雜、實用的 FORTRAN 數值分析程式很容易改寫，所得的程式，比原 FORTRAN 程式使用起來更為方便。

過去幾十年，普天之下，已不知有多少的專家學者，發表過難以計數卻都非常有用的 FORTRAN 數值分析程式。電腦科技的演進，如果會廢棄這些先聖先賢費盡心血提供出來的研究成果，那就實在是人類的悲哀了，很不幸的是，目前電腦軟體技術的走向，傾向於如此。當年，許多聖賢，公開電腦技術，研究解決數學問題所做的貢獻，都寫成程式、發表成論文，有許多都算得上是精彩的博士論文。但是，現今的電腦環境，幾乎已經不容易再去執行那些有用的程式了。本文單舉一個例子，以 ABC FORTH 數學計算系統實現這種功能。幾十年來的專家學者，在數值分析實務上所做過的貢獻，完全可以輕易的使用 ABC FORTH 數學計算系統令其重現，並且化腐朽為神奇。

本文的主題，大約是理工科系大學三年級以上的學生，才可能遇到的特別數學問題。如果 ABC FORTH 數學計算系統，能夠解決這一等級的數值分析問題，那麼處理一般性的數學計算問題就當然是輕而易舉。已經擁有 ABC FORTH 數學計算系統的使用者，請耐心的讀完本文，以這個實例學會譯寫 FORTRAN 程式，這是本章的宗旨。

常微方程如何用程式來求得解答？

大學中的常微方程課程，教材內容偏重於理論數學，專挑一些理想化了的典型常微方程，例如：線性、常數係數、低階、規則型態的方程式來解釋分析，最重要的是，要能手解求得存在的唯一解答，如此才能讓學生建立常微方程式所代表的觀念，各個理工科系的學生，各有應該專注的不同型態之常微方程，各自深入了解後，就可以應用到後續所學的專業科目上去，能用手解得到的答案，有一個專門術語，稱作解析解(Analytical solution)，也就是透過數學理論解釋分析後歸納出來的答案，健全完整，考試要考。

理論上的手解方法，通常都已固定落實了，甚至於都可以寫成公式直接套用。通常的解法，是以固定的演算程序，寫出常微方程之係數尚未確定前的通解(General solution)，然後，將已知的起始條件(Initial condition)或邊界條件(Boundary condition)代入通解，最後，確定通解中各項式的未定常數係數，便能獲得代表符合所有條件的特解(Special solution)。

理工科系的學生，要用這些解答來探討他所研究學習的專業科目問題，例如：機械工程系的學生，解得流體力學或熱傳導學的常微方程答案後，就可以了解系統內物理現象變化的趨勢。電機工程系的學生，解得電磁學的常微方程答案後，就容易明白電磁現象的變化。土木工程系的學生，也按同樣的方式，就能夠了解建築結構上力的分佈。化學工程系的學生，用同法來了解化學反應變化。換句話說，工程科技，一定要學常微方程，甚至於偏微方程。

上述僅用一段話，說明求解常微方程的目的，而常微方程通常都是表達自然現象的一種數學式子，能夠被手解的類型所佔比例是非常少的，科學家要大刀闊斧的合理簡化式子後，才能讓原來表示自然現象的常微方程變成可解析，這就是科學上常說的大膽假設。

現實世界中，如果學過了某門工程科學，日後工作時遇到了實際的常微方程，不能每次都用大膽假設法解問題。從事於工程工作是負有責任的，不能全憑假設解問題；較無責任問題的研究工作，有時也不搞假設，因為如果假設不成就會長期沒有進展，研究停滯不前。不能手算獲得解析解的常微方程，不一定就無法可解，科技發展到今天，有了電腦可以協助人類進行快速數學計算，產生了所謂的數值分析技術，以分析問題後採用有依據的數值計算方法，用逼近答案的演算方式求得解答，其結果同樣可以讓人類了解自然現象變化的趨勢而解決科學問題，這樣的解題方法，在學校兩小時的考場內，考試沒辦法考。

求解常微方程的答案時，使用數值分析法與使用手算推演解析解法完全不同，就比較二者在得到答案程序的差異上而言，甚至於可以說是採用完全相反的步驟與方式來獲得解答的。數值分析法一開始，就得使用唯一已經確定的起始條件點或邊界條件點，做為起算基點。古時候，有很多的聖賢應用數學家，例如：本文採用的 Runge-Kutta method 即為其中之一，研究出各種逐步演算推進到下一點的合理方法，寫成數學通式，再翻譯成電腦可以執行的計算程式，藉由電腦的快速演算能力，逐點計算，逐點推進，便可算出此後所有合乎常微方程式所有條件的答案值來。

上述兩種解法所得的答案，最大的不同點，顯示在答案的表示方式上。解析解的答案通常都是可以寫成漂漂亮亮的數學函數的解答，所有工程科系的學生都習慣見到這樣的解答。數值分析解法所獲得的答案，見不到函數表示式，僅只有好幾筆一序列長串印出的數目字，乍看之下，實在不容易看出個所以然來。然而，在應用上，兩種答案意義是一樣的，而且理論上必須相等。這就好比您在查函數表的數值時，您也看不到函數表示式一般，但可以立刻用來解決工程問題。

數值分析技術一定要用到『函數曲線繪圖程式』，利用繪製函數曲線圖形的程式，就可以用圖形來顯示上一段敘述內所得到的數目字解答，將答案繪製成圖後，您就能夠完全了解，數值分析法解得答案的意義了。

以前大學教育裡不太教這種解題技術，當時，電腦的運用沒有那麼方便，情有可原，現在的大學應該要重視這方面的教材，因為，這是一種實際的解題方法，正式的工程問題就得使用。您用得好，工程或研究就做得好，您用不好，工程或研究就做不好。只會解析解的工程科系學生，考試可能可以考得高分，稱得上是秀才。但如果秀才抗拒電腦，拒絕學會數值分析法解工程或研究問題，秀才就會經常沒有用。兩種方法都搞得很好，才能算是人才，我們的社會需要人才而不是秀才。

本文採用的大型例題，要完全研究透徹，須要仔細讀完大約五十頁的英文原文著述，是數值分析教材中一章的份量，若要全譯成漂亮的中文，就得大費周章。我創作 ABC FORTH 系統的主旨不在這裡，我就是希望今後這種文章都不必寫了，只要忠實的告訴您，題材的原始出處，您自行參考，直接取來運用，為後代子孫著想，節約人類寶貴的資源，才是主要宗旨。

這個例題是電路學上，一個分析電阻、電容、電感(RCL)三個電子元件，串聯成一封閉迴路所形成的振盪電路，它可以寫成一個二次的常微方程，來表示電壓隨時間變化的關係，希望能解得具有起始條件後電壓隨時間暫態變化的趨勢解答。

起始條件係假設迴路原為開路狀態，瞬間在電容兩端充以 10 伏特電壓，並立刻將開路改成閉路，則電容兩端電壓隨時間變化的二次常微方程表示式，及這樣的初始條件可以表示式為：

LC*(d(dV/dt)/dt)+RC*(dV/dt)+V=0
V(0) = 10
dV(0)/dt = 0

三個電路元件的物理量假設為：
電容值固定為 C = 2 * 10 ^ -6 farads
電感值固定為 L = 0.5 henries (程式中被表示為 HL )
電阻值可選擇為 R = 0, 100, 1000, 1500 ohms
電容兩端瞬間起始電壓固定為 10 volts
分析時步進間隔值分採 H = 0.00001, 0.0001, 0.001, 0.002, 0.005, 0.01 sec
分析最長時間設定成小於 0.02 秒，亦即 TMAX < 0.02 sec

這個典型的例題是屬於一個可以手算求得解析解的問題，因此，解析解也被用在程式中直接計算，以便將所得結果，與使用 Runge-Kutta method 數值分析解法所得的答案，進行直接比對，驗證數值分析法的合理有效。

詳細的分析與討論，本文不再贅述，有興趣的讀者請自行參考文獻。

這個程式可以被應用到求解所有的常微方程上去，包括高於二次以上的高次常微方程，前處理分析出來的相關通式改寫成程式後，被安排在 MAIN 指令的第 120 及 130 兩列中，想應用於別的常微方程式問題時，就得在這裡替換通式表示式，詳細過程仍請參考文獻後仿照應用。

我可以把這個程式寫得更好、更有效率、更有通用性，但達不到教大家直接改寫 FORTRAN 程式進入 ABC FORTH 系統的效果。因此，我以最大的耐心，逐列翻譯。除了前文曾經提及的輸出、輸入全自創，而不改寫外，整個程式幾乎沒有需要大肆更動之處，簡單的程度，就好比將四川話翻譯成普通話那麼簡單。 FORTRAN 裡面有一個可以多重分支，GO TO (1,2,3,4,5), M 的指令，也很容易依理改寫。程式改寫完畢後的執行結果，當然要與原文列印的結果相同，最多僅能有小數點後面少數幾位數的系統計算性能誤差。這些基本要求， ABC FORTH 都一一實現了，而可以迅速的操作性能，則是 FORTRAN 程式語言所無法辦到的。

微分方程的數值分析解法，其實強調的重點是在試出最恰當的每次步進間隔值，如本文範例程式中的 H ，應該取多少才恰當？取的太大了，逐點推進演算的結果就會算不準。取的太小了，每次可以推進的距離就很小，要算很久、很多點後才有結果。這個現象就如同使用離散(Discrete)表示法，以可隨時間變化的加速度來計算下一個速度值，離散時刻的時間分割至很小時，解答會較準，但要推進很多點後才會有最後希望知道的速度答案。一次就想算得許久時刻後的速度，答案就會很離譜，表示時間間隔值取的太大了，根本不能這樣算。如果重點是這樣，那麼容易操作的數學計算系統就會很有用，可以快速修改、調整、獲得恰當的步進間隔值結果。 ABC FORTH 當然比 FORTRAN 好用多了，這就是我為什麼創作 ABC FORTH 數學計算系統的主因，它可以使運用電腦解決問題的習慣完全改觀。能夠執行數學計算的系統不算甚麼，擁有即時性操作效果的系統就非等閒之輩了。

我以這種方式貢獻給大家的 ABC FORTH 數學計算系統，能使此前出版過的所有數值分析教科書永遠有用，永遠不必被淘汰，因為應用數學的理論部份，是大約 200 年不會過時的，書中的實務範例程式，則可以經由 ABC FORTH 數學計算系統輕易再生，這樣做等於是『化腐朽為神奇』，講求社會道德，減少隨便廢棄有用物質而造福全人類。

我不想浪費時間在電腦編輯系統中，尋找漂亮的數學表示符號編寫這篇文章，所以一些數學表示式，就編寫成意義相同，外觀卻有一點不尋常的格式。

原 FORTRAN 程式去除刊頭文字說明及無用的 FORMAT 內容後，重新打字輸入於此處，數據及執行結果則不再編列於此。改寫完成的 ABC FORTH 對應程式，及其中一套數據輸入後的執行結果，則用電腦系統的可選擇性複製、轉換環境後再貼上的功能，轉置到此處，這是一篇實用教材。