系統性能探討

系統性能探討

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

16 July 2025

有許多規模比較龐大的程式，我沒有發表在這個網頁，純屬於我個人的應用程式者也不網貼。有些論題很適合用來檢討系統性能，因為它們的內容通常涉及一些比較特別的需求。這一次，我取用傅立葉轉換(Fourier transform)的技術來探討我設計之 ABC Forth 系統的一些性能。

網上已有很多傅立葉轉換技術方面的資源可供參考，我也不例外的大方採用，用到之處會說明來源，以尊重他人的創作。本文借用的貼圖來自不同的網頁，表示函數時的參數並不一致，這不是我所強調的重點，但很容易看懂。別人貼出的材料都是經過一番努力後的貢獻，所以不要太強求。

Twitter(X)社群媒體上，有一個名稱為歷史上的物理學(Physics in history)帳號，最近貼出過一份能夠精簡說明傅立葉轉換技術的照片，我轉貼於此處與大家分享。這方面的數學，要在大學二年級以後才學，它是專門用於信號處理的工具，也可以用來作為偏微分方程式(PDF)求解時的工具。它的完整數學表示式定義，照片中有。

以物理觀念更簡單的說明，就是傅立葉轉換，能把隨時間而變化的函數轉換成隨頻率而變化的函數，函數的本質不變。

我自己在工程實務上的應用，除了寫過大量信號處裡方面的相關程式外，就是曾將此技術應用於原子爐六台 600 匹馬力水泵兩公尺長轉軸各有四個軸承的長期監測上。當軸承安裝妥當後，以頻譜顯示儀獲得的頻譜，是只有很單純的一個尖峰。當軸承出現問題，例如是彈子盤保持器有微小破裂時，以頻譜顯示儀獲得的頻譜，是單一個的尖峰不見了，改以佔用頻率範圍很寬廣的許多低峰值圖譜出現。這個時候，運轉裝備必須停機更換軸承，否則直徑兩英吋的傳動軸就會被震斷，整套水泵連帶馬達都全毀，重裝新泵時，連地腳螺絲都得重新設計，損失非常大，我經歷過。量測元件獲得的訊號通常都是時變訊息，要想獲得對應的頻變訊息，就需要傅立葉轉換技術。貴重與安全要求較高的裝備，值得加裝這種監測系統，能防患於未然。

我大三時學過偏微方程專門課程，書中滿滿的傅立葉轉換應用，印象深刻。我從事過電腦信號處裡的研究工作，參與過台電核二廠雜波分析發展計畫，也參與過魚雷相控陣列聲納的電腦技術研發計畫，有過一些信號處裡方面的實作經驗。設計研發程式時，知道信號處裡軟體技術發展時講求的重點，但那時還沒有自己設計過系統。也因此在後來自己設計數學計算系統時，就會強行設計一些以前系統所沒有提供的性能。例如本文提到的複數運算系統，可以直接在複數體系觀念之下設計程式。

任何週期性的時變函數圖譜，都能由許多個不同週期的函數圖譜合成，這是一種線性關係(函數乘以常數後相加本質不變的函數關係），以簡圖表示就能看出，從時變轉換成頻變表示時，函數本質不變的道理。

我把細部強調式的傅立葉轉換數學式再貼一遍，此圖仔細說明了數學式中每個符號的意義。

電腦工程實務上，這樣的公式被改寫成離散傅立葉轉換(DFT)的數學表示式：

傅立葉轉換說明至此，不再深入，有興趣的讀者可以自行從網上學習。

接下來，我採用維基百科與 Rosetta code 網頁共同建議的快速傅立葉轉換(FFT)程序描訴虛碼來探討系統性能。資料來源網頁為：

維基百科自由百科全書(WikipediaThe Free Encyclopedia)

https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm

我們逐列探討能直接執行這套虛碼的系統規格。

首先，第一列的說明強調要用到以 2 為基底的對數函數。
我在設計系統時，連浮點數的對數函數也全為採用以 2 為基底的根本函數來推導出其他所有的對數函數。但是以數學體系的觀念來設計系統時，整數與浮點數是不能混著出現在同一列運算表達式之程式中的，因為系統中兩者的資料格式完全不同。所以，在整數環境中，必須專為整數體系建立它自己的以 2 為基底的對數函數。我設計的系統中有此函數，名稱就叫做 nlb ( n1 -- n2 )，以對應於以 10 為基底的整數之對數函數 nlog ( n1 -- n2 ) 。

程式設計方法一開始就強調時變輸入信號 A 數列的點數必須為 2 的整數方次，例如：2 的 10 次方就是 1024 點，且輸入信號必須為複數的格式。我設計的系統中可以直接宣告產生陣列，所使用的指令是 [ARRAY] 。指標可以從 0 開始，這一條件，也是這套虛碼程序設計方法中的要求條件之一。

描述方法中有一列在計算複數的 exp 函數，它的參數必須是複數，結果也必須是複數。我設計的系統中建立了這樣的函數，在純粹 Forth 的環境中，我仍沿用 Forth 愛用者的習慣使用 zexp 的函數名稱。但在 BASIC 環境中，我直接就採用 exp 的設計，這樣設計不會搞混系統，因為浮點術與複數的資料格式不同，在同一列運算程式中只能有一種數字格式，所以複數環境仍可以照樣採用 exp 為該函數的名稱。

描述方法中只有指標需要運算之處是我設計系統時沒有實現的設計。這裡有兩個數列的指標 (k+j+m/2) 與 (k+j) 需要進行整數運算。在正整數運算之計算落定後，資料格式必須是正整數，這在整數環境內，不經設計就能直接執行得出來。但是在浮點數、複數等的非整數環境內就不能直接執行出來。要設計出這樣的規格時，必須在運算列內增加改變運算規格的暫態處裡，待指標之整數運算結束後，還得改變回來。我嫌這樣設計起來雜亂無章，只在 Win32Forth 系統中實現過設計後，便放棄了這樣的設計。解決辦法很簡單，凡是遇到指標有運算的地方，就必須在前一列直接增設一列程式。例如上述情況就寫成：