2026年4月15日 星期三

邏輯運算(Logic operation)

邏輯運算(Logic operation)


曾慶潭 Ching-Tang Tseng
ilikeforth@gmail.com
Hamilton, New Zealand
16 April 2026


本文所探討的邏輯運算，為『條件整合』所需的邏輯運算，而非『位元操作』方面使用的邏輯運算。

為了讓ABC FORTH數學計算系統增添這種邏輯運算的功能，我才慎重其事的重新探討此一主題。討論的內容仍然憑藉著邏輯運算的傳統原始定義，但討論的結果，可以產生創新的作法，並實際實現將系統中的邏輯運算指令，設計成以適當的中文意思來表達，且令其在程式中的使用方式，符合中文的語法規格。

大體而言，數學計算系統中的處理對象，若能夠被明確的劃分成各個獨立模組，系統便容易規劃、設計、發展。舉例而言，ABC FORTH數學計算系統，將整數、浮點數、複數…等數字處理對象，都當作各自獨立的模組來考慮，模組化後可以大大的簡化整個系統，讓各模組的問題，只須在各模組的範圍內自行解決。

因此，在ABC FORTH系統中，欲添加邏輯運算的功能時，最佳的作法，當然也就是繼續將這項主題，考慮成一個新建的單一模組來設計程式，讓邏輯運算的位階等同於整數運算、或浮點數運算、或複數運算，是一個獨立的新模組。

事實上，邏輯運算在實際的科學應用中，原本就與各種數字的運算不相干。數字運算計算3乘2得到6，1加1得到2，配合上其他所有的運算，形成一套完整的數學體系。邏輯運算執行0與1的各種運算後，也會得到一些運算結果，但這裡的0與1不表數字，而是表真或假、對或錯、是或非、有或無、開或關、高或低…等等所謂的邏輯相對狀態，0與1僅只是借自數字系統的兩個元素當作符號，這個1也可以使用除了0以外的其它任何數字來代表，但都與數字的大小或正負意義完全無關。總而言之，邏輯運算原本就與各種數字運算無關。

邏輯學是研究理論數學、應用數學、高深數學之基礎工具，也一直都是電腦科技發展的基石，電子邏輯電路工程更是經常需要用到邏輯運算設計產品。數學計算系統不應排除邏輯運算的功能，它係電腦以執行軟體程式的方式，實踐邏輯學問，沒有邏輯運算功能的系統，性能便有所欠缺。因此，將全部的邏輯運算功能建立在數學計算系統中，是有必要的，健全的邏輯運算功能，也有助於處理人工智慧方面的程式。我將加建邏輯運算功能的方法搞成極其簡明的方式，當然也就有助於各方面的應用發展。

2010年七月，我才開始設想『如何增建處理邏輯運算的功能進入系統？』的問題，自覺很容易實現這樣的設計。但是，那時只是初步的構思，只考慮仿照一般傳統程式語言的習慣，暫時僅融入『而且』(AND)與『或者』(OR)兩個單純指令。這篇文章則進行廣泛性的探討，包括如何給予適當的邏輯算子中文名稱？我個人認為，應該研究過它們在系統程式語言中之表達位置後，方給予適當的命名，才會比較恰當。讓指令的名稱符合語言上下文的啣接要求，這樣才能有助於設計出具有優良語法的程式系統。

一般而言，若只討論邏輯運算不同的名稱，基本邏輯運算的算子共有六個，它們是：

(1) AND (2) OR (3) XOR (4) NAND (5) NOR (6) NOT。

在FORTH程式語言中，邏輯算子(Operator)所需要的算元(Operand)操作對象，除了NOT只需要先行提供一個算元外，其他五個，都需要先將兩個算元操作對象放在堆疊上，然後才能執行邏輯運算。執行的結果都只得到唯一的狀態表示值，並將其留在堆疊上，供後續指令使用。換句話說，FORTH的邏輯運算，是一種後算符式的運算。1994年訂定的ANSI FORTH指令標準中，只將前三個當作標準基本指令，後三個可以導得，設計如下：

 

 
: NOT	 0=		;

: NAND	 AND NOT 	;

: NOR 	 OR NOT 	;

如果單純的以1表示『真』，以0表示『假』，來製作一份邏輯運算真假值表，NOT不製表，原為1則得0，原為0則得1，其它的邏輯運算真假值表示如下：


上述全屬邏輯運算的原始性質定義，我們透過它來討論問題。

學過電子學上邏輯電路設計技術的人，一定知道，只要根據單一種邏輯閘，NAND或NOR僅擇其一，把它當作萬用基本邏輯閘，就可以設計出另外五種邏輯閘的知識。目前，市面上販售所謂的以NAND或以 NOR單種電路製造的快閃記憶體，大概也就是依據這個道理設計而成的。

事實上，在FORTH程式語言中，我們單純的只以軟體程式來設計，也一樣可以完成這種方式的設計，只不過是我們另得配合使用簡單的堆疊操作指令來達到目的。

我們若只以NAND當萬用基本指令來設計時，其它的五個是：

 

 
: NOT	( n – n ) 	  	DUP NAND ;

: OR 	( n1 n2 – n ) 	DUP NAND SWAP DUP NAND NAND ;

: AND 	( n1 n2 – n )	NAND DUP NAND ;

: NOR 	( n1 n2 – n ) 	DUP NAND SWAP DUP NAND NAND DUP NAND ;

: XOR 	( n1 n2 – n ) 	OVER OVER DUP NAND NAND –ROT SWAP DUP 

	NAND NAND NAND ;

我們若只以NOR當萬用基本指令來設計時，其它的五個是：

 

 
: NOT 	( n – n ) 		DUP NOR ;

: OR 	( n1 n2 – n )	NOR DUP NOR ;

: AND 	( n1 n2 – n ) 	DUP NOR SWAP DUP NOR NOR ;

: NAND 	( n1 n2 – n ) 	DUP NOR SWAP DUP NOR NOR DUP NOR ;

: XOR   ( n1 n2 - n )	OVER OVER DUP NOR NOR -ROT SWAP DUP 
 
                    NOR NOR NOR DUP NOR ;

這些FORTH指令簡單易懂，是初學者很好的程式設計練習指令，而且上述設計方法不是唯一解答，您若有興趣試一試自己的本領，不妨就自己另搞一套，並自行摸出如何證明自己的設計絕對正確的辦法。這些整理出來的結果，也是當初發展出eforth系統前，曾經被仔細探討過的題材，是想要將FORTH反璞歸真前的一個重要程序。

有了這些根據，我們可以開始探討如何將這些功能全部加進ABC FORTH數學計算系統的問題了。在這個系統中，若以BASIC式的方式來設計程式，則『條件整合』用的邏輯運算，只會出現在條件分支指令組IF…THEN之間，一個典型的『而且』(AND)指令使用範例如下：

100 IF ( A > 5 ) AND ( B > 5 ) THEN 700

其中，( A > 5 ) 與( B > 5 )是兩個範例條件，本文只使用它們來代表一切可能的條件，是假設性的算元，AND便對這兩個條件進行邏輯運算，所得結果用來決定是否分支到THEN後面所指示的前往位置700去？改成中文程式則為：

100 如果 ( A > 5 ) 而且 ( B > 5 ) 前往 700

這樣的程式書寫方式，幾乎與我們中國人的語言表達方式完全一致了。有這麼重要的意義在其中，就更值得為其它另外五個邏輯運算指令，好好的設計出適當使用規則。另外一個『或者』(OR)指令，性質與『而且』(AND)相當，就照上述安排，成為標準的中算符指令使用方式，非常理想，由英文譯成中文的指令名稱也很恰當，不須要再進行任何修正。

這兩個指令，還有一項特點，也就是可以連續使用無限次於IF…THEN之間，用幾次都不成問題。因為每經過一次邏輯運算之後，都只留下一個邏輯狀態值，繼續以上列中算符方式安排在程式中時，便也能繼續與後續的新條件亦即算元操作對象進行邏輯運算，直到不算了為止，仍只得到唯一的結果，供給『前往』(THEN)指令使用。

另外的四個慣常邏輯運算指令，在英文環境的適當表達方式，則與中文有所不同，這是我從上述真假值對照表中看出來的問題。

當然，表達方式可以有很多種，只要使用方式合理，使用者使用時，可以覺得足夠友善，都可以作為設計的依據，而且對我而言，都很容易設計得出來。例如：我可以懶到根本就將所有的邏輯運算當作也是一種函數來考慮，那麼，六個邏輯運算，在程式中，就可以全部統一成前算符方式，使用於程式設計中。

我在ABC FORTH系統整數體系內所設計之『位元操作』應用方式的邏輯運算，就是前算符的格式，以便讓這六個指令可以呈現函數表示式的性質，如果在IF……THEN間的『條件整合』情況，繼續延用前算符規矩，程式就必須寫成下列格式：

 

 
AND 	( ( A > 5 )  ,  ( B > 5 ) )

OR  	( ( A > 5 )  ,  ( B > 5 ) )

XOR 	( ( A > 5 )  ,  ( B > 5 ) )

NAND 	( ( A > 5 )  ,  ( B > 5 ) )

NOR	( ( A > 5 )  ,  ( B > 5 ) )

NOT 	( A > 5 )

系統將這些函數式的邏輯算子執行完畢之後，都只得到一個唯一的狀態值，當然就能提供後續的THEN指令使用了。可是，這樣子使用之後，就完全失去了與人類語言直接對應的關係，結果就等同於傳統FORTH中的後算符使用方式，這兩種類型都與人類慣常語言完全不匹配。

另外還有一項因素，上述AND與OR兩個較完美中算符式的設計，也是一般傳統程式語言中所採用的格式，若不跟著以同樣的方式使用，想轉譯舊程式進入ABC FORTH系統時，就會產生困擾。因此，必須保留這兩個邏輯算子，成中算符的格式來使用。

其它的邏輯算子就不是這樣了，如果生平根本就不用英文思考問題，不必管它XOR、NAND、NOR、 NOT的實質意義為何？把這些算子都譯成『與…進行某種邏輯運算』，那麼，前三個指令就設計成也是中算符就很理想，例如：

( A > 5 ) XOR ( B > 5 )

表示條件( A > 5 ) 與條件( B > 5 )進行XOR邏輯運算

至於NOT，則只好維持原來FORTH後算符的方式了，我在ABC FORTH系統中，就將英文的邏輯運算指令，設計成這樣的使用格式，但深覺它忽略了中文，不尊重我們中國人的存在。

考慮在中文程式中使用這些邏輯運算指令時，若純用中文進行思考，便能夠深刻的體會出指令名稱、實質意義，與語言規格間的重要關聯。為顧全大局，要讓這四個指令都必須以『後算符』的格式來使用，才比較恰當。為什麼？請回頭仔細看看邏輯運算真假值對照表中顯示的各種狀態，您就可以明白其中的道理。

我在台灣讀過的書本中，幾乎所有與邏輯算子有關的譯名，大約都被固定的翻譯成非常怪異難懂的名稱了。『XOR』被譯成『互斥或』，『NAND』被譯成『反且』，『NOR』被譯成『反或』，『NOT』大概被譯成『非』吧。如果要拿這樣的譯名來設計中文程式，那我寧可不設計程式了，不信請讀一讀下列用法，看看您能不能直接讀出程式的意義來？

100 如果 ( A > 5 ) 互斥或 ( B > 5 ) 前往 700

講實在話，我讀不出來。

於是，我為這四個邏輯運算指令想好了比較一致、比較恰當的中文名稱，將它們都設計成後算符的使用格式，並且在兩個條件算元操作對象之間，添加一個逗號『 , 』當作分隔符號，完成了設計。此處再度複製一份真假值表，以便就近參考，請先行觀察四個指令在表中呈現的意義，然後再看看分別被譯成的適當中文名稱，對照如下：



 
XOR		一是一非

NAND 		不為皆是

NOR		兩者皆非

NOT		不對

我在ABC FORTH系統中實現了這樣的設計，它們的使用規格則如下列：

 

 
100 如果 ( A > 5 ) , ( B > 5 ) 一是一非 前往 700

100 如果 ( A > 5 ) , ( B > 5 ) 不為皆是 前往 700

100 如果 ( A > 5 ) , ( B > 5 ) 兩者皆非 前往 700

100 如果 ( A > 5 ) 不對 前往 700

如此一來，這些邏輯運算就都符合我們的中文語法了，而且想進行連續邏輯運算的程式設計時，使用小括弧，清楚的將各個條件算元操作對象，按同樣格式區分開來，也能完成沒有次數限制的邏輯運算。以前，從未有人這樣子翻譯這四個邏輯算子的中文名稱，我現在則以邏輯算子在中文話語中的上下文關係，作為考慮基礎，譯名也包括了中文的直覺意義，可以通順的使用於程式語言中，這樣做算是創舉。

我在習慣於快速中文打字的操作後，已經不再認為：給予指令兩個字，例如：『不對』，會比只給單個字，例如：『非』，的譯名要差了。好的指令中文譯名，應該是清楚第一，通順至上。在以打字方式設計程式的作業環境中，字有幾筆、幾劃？更不重要，今人考慮的問題，早已與前人大不相同。

邏輯運算的功能，完全能應用在任何需要邏輯運算的場合，包括設計電子邏輯電路時的應用，使用者可以在未接觸硬體前，先以執行軟體程式的方式來實現。但是這種邏輯運算，屬於『位元操作』應用方式的邏輯運算，並非『條件整合』應用方式的邏輯運算。因此，在ABC FORTH數學計算系統中，就必須使用整數體系內的六個函數式的邏輯算子來設計程式，有別於此處探討的邏輯算子。

邏輯運算是數學運算中的一門分支，本文僅只處理了六種慣用邏輯算子，如果另有新的邏輯算子產生，隨時可以迎合要求，將其加入這個完全按照自己的理念設計出來的ABC FORTH數學計算系統。

我可以不堅持自己的譯名就是最好的選擇，大家若有更高明的見解，也可以經過討論後，重新設計進系統，這就是不必受制於人的好處，我們隨時辦得到。

這樣子的研究，純粹衝著我們中國人自己的文化而來，打從幾十年前開始學習電腦程式語言起，我心中便對中國人想使用電腦設計程式時，始終受制於西方文化設計出來的規範，感到忿忿不平，如果自己完全沒有能力在這方面進行改善，那就不必空談，只能拈香跟拜(台語，表示只能忍受一切羞辱，任人擺佈的意思)。

整理出這樣的研究，它的好處在那裡？完全無利可圖，所以何必曰利？但是，如果大家都不願正視這樣的研究，那麼，只好一輩子永遠拈香跟拜。

現在不一樣了，我早已習慣於在自己的電腦上大肆使用中文，譬如打文章、寫信、作記錄、看資料、看新聞、看程式…等等，我也有能力設計出可以完全只使用中文來當指令的程式語言，那麼，為什麼不更進一步的發展？也許我的個人研究不太成熟、不夠完美、不算甚麼，但是，至少我已經能夠這樣做了，上述的中文程式語言功能，我確確實實的實現了！而且，我會繼續思考，繼續努力，繼續設計，在數學計算系統方面，別人能做甚麼，我也絕對能設計得出對等功能的系統，性能還可以中文為主，並且直接超越別人的設計！

與數學計算相關的大部份實際程式中，必須使用到『條件整合』式邏輯算子的情況非常簡單，幾乎只要準備AND與OR的功能就夠了。在進行專家系統方面的程式設計時，反而更需要全部邏輯運算的功能，尤其是如果想用中文來設計專家系統時，除了要讓執行結果絕對符合專家資格，不出差錯外，對於日後的程式維護，也要講求精簡明確，那麼，這一篇文章內所強調的要點，就會很有價值。
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