2026年1月15日 星期四

線性組合

線性組合


曾慶潭 Ching-Tang Tseng
ilikeforth@gmail.com
Hamilton, New Zealand
16 January 2026


在大學三年級以上的高等數學課程中，經常可以聽到老師在教學課堂上強調：解方程式時『解的線性組合亦為其解』。
以前在學時，只是把他背下來，沒有去深入了解，後來走進了社會，經常看到『線性組合』的術語，就開始根據孔子所說的『思而不學則罔，學而不思則殆』之道理來想問題。
結果發現，運用幼年還沒有 x, y 代數知識時期的思考方式想問題，最容易了解，而且要把問題反過來表達，才更清楚。
那時，若問 3 乘以多少能得到 6 時，這個在等號左邊的『乘以多少』移到等號右邊，就應該是被 6『除以多少』了。

同理，我就以同樣的方式思考何謂『線性組合』？與可以運用在那裡？的問題。

根據定義，線性函數有兩個重要特點，以數學式表示則為：

cf(x)= f(cx)
f(x+y)=f(x)+f(y)

其中，『乘以 c 』也隱含了可以『除以 c 』的意義，『加上』也隱含了可以為『減掉』的意義。

思考的時候，就用幼學技巧來思考，例如：

假設已經知道 x = 5 。那麼，『線性組合』類比上的發揮就可以這樣的式子表示：

 

 

2 * x = 2 * 5 ==> 2x = 10
3 * x = 3 * 5 ==> 3x = 15
2x + 3x = 2 * 5 + 3 * 5 ==> 5x = 25


顯示的結果就是：『線性組合』攪來攪去，實質意義上，卻仍然只是 x = 5 而已 ，性質不變。


這樣子去了解『線性組合』，以後在用到時，就不會懷疑它所代表的實用意義了。
舉例而言：

1. 我們在解矩陣的線性聯立方程式時，也是憑此『線性組合』的意義來進行演算的：某列乘上一個常數加到另一列去，矩陣的性質不變，為什麼？意義就是上述內容。

2. 我們在解所有的方程式時，都要牢記解的線性組合仍為其解來寫通解，其意義也在這裡。韓信點兵的問題，求出第一個最小正整數解後，還得照線性組合的特性來寫出所有整個序列的通解，才是正確的解答。

3. 我們在將循環小數化為可用兩個最精簡整數相除來表示時，求解的方法，也是利用線性組合的意義來求解。

4. 傅立葉級數的展開式，尤其表現了『解的線性組合仍為其解』的物理意義，術語上稱為線性疊加效應。

5. 人臉辨識系統的數學運算，也就是將整個圖形的影像數據，進行線性組合式的運算，來獲得 zoom in/zoom out 的效果，以便與基本庫存圖檔的設定尺寸吻合後，才進行比對，落定結果。

6. 斷層掃描得到的訊息，都是以 180 度半圈掃描測量所得形成的數據，每一點的內容，都是沿著徑向相關點之訊息的線性組合。

7. 量子電腦儲存訊息的技術，在運用時，更發揮了線性組合的觀念，才更能以三度空間的方式，儲存大量的訊息。

8. 相控陣列感測系統，無論是聲納或雷達，也是全靠線性組合的原理處理訊號，將所有感測到的訊息，快速算出線性組合而成的輪廓花樣，就能得到放大了陣列維度倍數的精密訊息。

最原始武器的陣列感測器系統，純用類比硬體製造，解析度就難以提高。後來，改採數位電腦處裡訊號時，卻遇到非即時性處理，運算速度不夠快，難以即時得到結果的困擾。 以後，利用量子電腦，可以利用大位元數量操作的優點，與量子態的感應式光速運算能力，相控陣列雷達的性能，就能藉著量子電腦達到大躍進式的性能提升，用到的最基本原理，仍然就是線性組合。


『線性組合』運用在無數的地方，只是大家沒去注意而已。

我在了解線性組合的科學意義後，做過延伸性的思考，自問『乘以一個常數還能相加』的特性，在複數體系中是否照樣有效？若想深入探討這個問題，就必須擁有能夠很方便於操作出複數運算的系統，於是自行設計出它來。
我所設計的數學運算體系，都能辦到這樣的功能，運算程式可以直接寫成使用複數作為基本運算單元的格式。

學校課堂上的老師，不會採用複數運算教學的方式來驗證各種理論給學生看，否則整堂課，可能只能教一題複數運算的題目。

我在知名國際論壇上發表過這方面的研究成果，並公開展示，當時，沒有想要丑表自己先進的念頭。卻在不久之後，發現有人刻意趁機捐獻這種程式給公開的相關網站，博取名聲。我很不以為然，但是沒有生氣而指責對方的這種行為，因為他也是論壇中來往過的對象，自己知道他會這樣做，以後小心便可。


線性組合原理，其實是大自然運行的法則，包括人類必須順應天理的優良人文思想，也是如此。

中華文化，強調大家應該遵守儒家的人倫觀念，繁延我們的子孫。這就是最正常、最適當的線性組合理念，能讓整個社會與民族，健康、安定的發展下去。一個爸爸結合一個媽媽建立一個健康的家庭，養育出健康的下一代，是再美好不過的事情。如果有人硬是要搞基因工程，強將兩個爸爸與一個媽媽的基因組合在一起，結果可能會生出有兩個腦袋的畸形連體嬰來，很難養活。


這裡有部影片，拍攝到很難得的兩隻火鶴同時餵養幼鶴的寶貴鏡頭。
影片看起來很血腥，好像是火鶴爸爸，凶狠的啄穿了火鶴媽媽的腦袋，流出腥紅的血乳，餵養著還不能覓食的幼鶴，吃完一頓血乳，還弄得滿身都是血。
其實，火鶴不是哺乳動物，火鶴沒有那麼殘暴，幼鶴也沒有那麼狠毒，他門仍然是按照一般禽鳥類動物餵養幼兒的方式，採取反芻出大量已消化的營養物來餵食幼鶴。火鶴消化作物類食物來吸收養份的方式，有點特別，牠們喜吃作物類的植物，消化成帶有大量 beta 胡蘿菠素火紅色的養份後，才吸收。反芻出來的營養物，等同於是禽鳥的作物奶，跟人類可用米漿育嬰是同樣性質的東西，不是血奶。
一般而言，一隻單親成鶴，就能養育幼鶴。這部影片則攝得了寶貴的鏡頭，由兩隻火鶴以線性組合的方式，這樣子餵養幼鶴，幼鶴長大了必定更為健康，就是因為他曾享受過順應天理之『線性組合』式的栽培。
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