一百個例題(01~10)
Ching-Tang Tseng
Hamilton, New Zealand
1 August 2024
文學創作者想把著作搞到最高境界時，最後，都想寫詩。搞Forth的前輩，程式發展到後來，也會想把詩歌融入Forth。
:
FORTH:慶的世界。 本網頁為中華民國(Republic Of China)FORTH語言協會 永久性網頁
第(05)個程式展示的主要宗旨有兩個：一是介紹為什麼要活用堆疊操作指令？ 另一個是教您如何在單列程式後面添加註解。
:
這個程式的題目是：如何根據兩個頂點的座標來設計出獲得長方形面積、中央座標、邊長的程式？ :
問題是大眾化的例子，不需要特別解釋。工程上，卻有無限多的問題屬於這種類型。程式設計的方法，要先搞清楚問題，取得公式後，再按照公式設計程式，才能確保不出差錯與簡單。 :
分析問題後，可以發現，任何長方形，若以座標點來表示，只需要給兩個對角點的座標，就可以完全的決定長方形，問題也才能具有其唯一性。因此，這個程式，就限定輸入的數據，只能是任意兩個點的座標值。 :
兩個頂點的座標值，共擁有四個參數： x1, y1, x2, y2 。算面積，算邊長，求中央點的座標，都要用這四個參數來計算，使用參數的秩序可以不是固定的，於是，參數擺在堆疊上的秩序，被用來計算時，就有變化上的要求了，如此一來，堆疊操作指令就得發揮作用。 :
根據我長期使用 Forth 的經驗，很少有問題需要使用四個以上的參數。若有，則最好改搞陣列來取放數據，別再單靠堆疊。大部分的數學元素，最多也只用兩個單元，如雙整數、浮點數、單個複數...等等都是，只有我在設計分數系統時，才碰到需要單個元素就得耗用 3 個單元來存放數字的問題。 :
最多使用四個參數的普遍情況，使得堆疊操作指令，只需提供 DUP, DROP, SWAP, OVER, ROT 這幾個，大約就夠用了。新時代的程式設計，也很少再用到 PICK 與 ROLL，尤其是 ROLL，早已久不見此指令存在於程式中了。這有兩個原因，一是確實很少用到。另外就是以前的標準與後來的標準差了一個計量值，以前使用 3 PICK, 4 ROLL時，現在都得改用 2 PICK, 3 ROLL了。這樣的混淆，讓許多古聖先賢公告過的公益程式，在再度被使用到時，產生了極大的困擾。不是老手，感覺不出這種無聊修改所造成的痛苦。我很痛恨後來亂訂標準的無聊敗類，尤其是這種計量只差 1 的問題，毫無必要。他們想斷別人傳承的根，卻在世上留下了萬世的臭名。 :
主要被處理的元素，最多常只使用兩個單元的情況，也使得後來的堆疊操作指令，出現了 2DUP, 2DROP, 2SWAP, 2OVER, 2ROT 的固定設計，甚至於在浮點系統中，還改以FDUP, FDROP ..... 等等指令來對應。這些延伸性的設計，本就不該被訂定為標準。強行被訂定為標準，是多餘的。所以，我在 2008 年貼出在個人網頁上的首篇『FORTH83標準指令』貼文，就永不撤文，擺在那裡，恆有用處，那才是根本精神。 :
這個範例程式中的另一特色，是以『 ( ---------- ）』的方式將說明包裝起來，列於最後面，擺整齊。如果程式將堆疊的數字翻來覆去，搞到設計者也看不太清楚堆疊狀況時，您就可以學著這樣使用，以便標示自己的設計，利於日後回查。 :
\ Example 5. Rectangles
: area ( x1 y1 x2 y2 -- area )
ROT - ( x1 x2 y2-y1 )
SWAP ROT - ( y2-y1 x2-x1 )
* ( area )
;
: center ( x1 y1 x2 y2 -- x3 y3 , center coordinates )
ROT - 2/ ( x1 x2 y3 )
SWAP ROT - 2/ ( y3 x3 )
SWAP ( x3 y3 )
;
: sides ( x1 y1 x2 y2 -- sides )
ROT - ABS ( x1 x2 y2-y1 )
SWAP ROT - ABS ( y2-y1 x2-x1 )
+ ( sides )
;
\s
Usage:
0 0 100 200 area .
50 75 1000 1350 center . .
50 75 1000 1350 sides .
第(06)個程式的主要功能，在介紹多重條件下，如何產生邏輯比較後分支？題目的問題是：設計氣候報告，輸入溫度大於華氏85度時輸出為太熱，低於55度時輸出為太冷，居中時輸出為剛剛好。
:
\ Example 6. Weather Reporting
: weather ( nFahrenheit -- )
DUP 85 >
IF ." Too hot!" DROP
ELSE 55 <
IF ." Too cold."
ELSE ." About right."
THEN
THEN
;
\s
You can type the following instructions and get some responses from the computer:
90 weather Too hot!
70 weather About right.
32 weather Too cold.
能執行邏輯判斷後條件分支，是程式語言三大支柱之一，另兩個，則是能逐步執行，與能循環執行。我設計 ABC Forth 時也得驗證出具有這三項功能，才能用來解決所有的數學計算問題。今天，除了學學這個 Forth 程式外，我改用 ABC Forth 寫出這個程式，實現同樣的基本要求，然後解說 ABC Forth 與傳統 Forth 程式語法間的不同。
:
Forth 已發展成語言為結構化的規格，早期的 Forth 使用者，還常強調不改系統照樣能突破結構化的技術，後來就不強調了。現代的 Forth 還能辦得到，但也很少人談論與應用這種性能。我的 ABC FORTH 執行起來能亂跳，就是利用 Forth 的這種天性使然。請不要以為不結構化不好，它有一定要存在的絕對必要性，最基本的組合語言是一切程式語言的根本，它，就得能夠亂跳。我的 ABC Forth 中，能亂跳的指令是 GOTO，但實際上 IF ----- THEN 中的 THEN 也能亂跳。 :
我先把程式列在這裡再解釋： :
integer t : T? ( n -- ) [[ t ]] ! BASIC 10 if t > 85 then 50 20 if t < 55 then 70 30 print " About right. " 40 goto 100 50 print " Too hot! " 60 goto 100 70 print " Too cold. " 100 end ;
比較兩套程式，功能完全沒有問題，請自行copy這一段程式，附貼到第(06)個程式的後面，載入程式測試後便知。 :
上列程式中，[[ t ]]能夠取得整數變數 t 的位址。ABC Forth 程式在尚未執行到 BASIC 這個指令前，可以完全只使用傳統 Forth 的語法寫程式，但在 basic 至 end 間，就得使用 BASIC 程式語言的語法寫程式。若在其中仍想要用 Forth 語法寫程式，我自創了一個叫作 RUN 的 BASIC 語法專用指令，可以辦到這項要求，它的設計內容，就是叫用 INTERPRET 來完成，這裡還不急著介紹其用法，以後再說。 :
Forth 邏輯判斷後分支的 IF ----- ELSE ----- THEN 整組指令結構，是在 IF 的前面進行邏輯運算，留下結果供 IF 使用而分支。 BASIC 邏輯判斷後分支的設計，在我的 ABC Forth 中，只有一種用法，就是只能在 then 的前面進行邏輯運算，算完，供 then 使用而分支。而且，分支的要件是只能分支到後續指定的標號列去，沒有其他任何指令，所以，我前述說到的 then 就能亂跳。但，回跳，就得用標號的負數，這樣使用的例子，以後提到時再說。 :
這只是一個小範例，卻展示了使用 BASIC 語法設計的程式，能夠完全被融入 Forth 系統的特異功能。上列設計好的 T? 指令，完全能像任何其他純用傳統 Forth 語法設計出來的程式那樣，被後來的程式直接叫用。所以，我把堆疊規格也標示在 T? 後面：( n — )，跟原設計出來的 weather 指令規格完全一樣。 :
由於 ABC FORTH 是編譯(compile)式而非執譯(interpret)式的語言，所以執行速度不會變慢。而且，我的設計內容不採用傳統 BASIC 系統的設計方式，程式被執行時，系統裡面沒有將程式一列一列拿來分析的剖析器(parser)，而是根據 Charles H. Moore 設計的編譯器(compiler)直接編譯出來的，所以執行速度跟 Forth 一樣快。您若有興趣，可以使用 Win32Forth 中的 see 指令直接看看 T? 被編譯後的內容，執行 see T?，就會有結果，但很難看懂，編譯完畢後，就沒有標號了。所以，程式也不會耗費太多的記憶體，其本質根本就還是個 Forth。 :
多重邏輯判斷後分支的問題，在任何程式語言中，都是個麻煩問題，分支要求一多，就會把流程搞混，程式就很難看懂。 為此，FORTH 後來就發展出 CASE ----- ENDCASE 的語法，來解決這方面的問題。1994 年以後，這一組指令已被列為標準規格。雖已為標準，但尚力有不逮，碰到條件是區域而不是單純一個數值能表達的狀況時，仍得更改設計，所以也不是很好用，反而是我設計的這種分支方法，能涵蓋所有的層面。這一個簡單範例只有三個分支，還不需要使用 CASE 來處理，它只展示兩層的分支程式該怎麼寫？ :
我們討論的題目內容不太複雜時，我會趁機討論一些程式語言的哲理，題目複雜時，就少談哲理。 :
第(07)個程式介紹以程式印出九九乘法表。
:
程式語言只有三大支柱，第三個，是能夠循環執行。這個程式就是個使用循環指令 DO ----- LOOP 的例題。 :
\ Example 7. Multiplication table
: onerows ( row -- )
CR
DUP 3 .R 3 SPACES
13 1
DO I OVER *
4 .R
LOOP
DROP ;
: Table ( -- )
CR CR 6 SPACES
13 1
DO I 4 .R LOOP ( display column numbers )
13 1
DO I onerows
LOOP
;
\s
usage:
table
DO ----- LOOP 是一種定量式的循環，也就是說它的起始與結束之指標數值是固定的。例如：從 1 做到 10 這樣的環路固定量，環路指標在環路中就會從 1 自動變化到 10 為止。相關於這種環路的指令還有好幾個，這個例題內沒有用到，我就不提。實際上，我不太喜歡使用這種用法設計程式，因為它存在著不少缺陷。例如： Forth 把指標處理的不太合乎人們的直覺，當您想印出 1 到 10 時，該給的上下限是 11 與 1，要倒過來給，上限還得多加了 1。又如：我在設計許多應用程式時，很不習慣於上下限指標相同時環路還會至少仍做一次。如此一來，我在設計函數時，常碰到有上下限一樣程式便不得執行之要求也得被包括的情形，結果就出差錯了。必須改用非標準的 ?DO 指令來取代 DO ，才能解決問題。反對將 ?DO 列為標準的人，不懂得這些問題。還有其他問題，以後遇到時再談。這些不好用的問題，我若改成以 BASIC 格式設計程式，就能解決問題。
:
這個程式，可以改寫成以 ABC FORTH 的格式重新設計，我曾將它寫進貼文，貼出於我的個人網頁，就在2018年2月15日 星期四刊出的『 Calculation 』一文中，請參考： :
https://forthfortnight.blogspot.com/2018/02/ Calculation Ching-Tang Tseng Hamilton, New Zealand 16 February 2018 ilikeforth@gmail.com http://forthfortnight.blogspot.com 文中程式如下： 3 integers I J K : table3 ( -- ) BASIC 10 RUN CR 2 SPACES 20 FOR I = 1 TO 12 30 RUN I 4 U.R 40 NEXT I 50 RUN CR 60 FOR J = 1 TO 12 70 RUN CR 2 SPACES 80 FOR I = 1 TO 12 90 LET K = I * J 100 RUN K 4 U.R 110 NEXT I 120 NEXT J 130 END ; 在 ABC Forth 中，我設計的環路格式，用法如下： FOR I = 起始值 TO 終止值 STEP 間隔值 —————— （ 在此區域內使用指標 I ） —————— NEXT I
另外，設計此系統時，我把正在使用中的兩個上下限指標值，設計成暫時存放在普通的數據堆疊上，不像傳統的 Forth 系統是放在回返堆疊上。因此，使用者就很容易自行破壞環路，可以自由地跳出環路去到想要跳去的地方。跳出去時，執行一次 2DROP 就可以亂 GOTO 了。這個功能很有用處，在大量查找質數時，為讓程式能節省執行次數亦即節省時間，就能運用這種程式設計的技巧。它，真的是很有用處。
:
從上列改寫出來的程式中，就能注意到傳統 BASIC 式程式語言印出文字時有個嚴重缺點，就是每印一次就必須跳一列。這樣的性能，不能滿足用來印出一個九九乘法表的要求。我創作的一個叫做 RUN 的指令，能解決這種問題，緊隨 RUN 之後，可以直接使用執行完畢後不會影響堆疊狀態之所有的 Forth 指令。使用方式，就如上述。 :
這個 RUN 指令在 Charles H. Moore 提出的原始設計中沒有，是我獨創的。它可以將 BASIC 程式語法大大的強化，等同於讓使用者在 BASIC 的使用環境中，能夠叫用所有的 Forth 程式。這個程式光用 BASIC 中的 PRINT 指令，不能辦到印出九九乘法表所要求的結果，只能用我創作的 RUN 指令，配合 Forth 系統原本的性質來完成。Forth 處裡輸出與輸入的能力很強，才容易做控制工作，其 I/O 性能是廣義性的，不只是文、數字在螢幕上的 I/O，也包括電腦在實體訊號方面的 I/O。這個程式的展示，只是個小範例。 :
外國人用12x12乘法表，我們中國人才用9x9乘法表。 :
第(08)個程式規模較大，是個完整的設計，主題是：根據年、月，或單只根據年，印出月曆。
所有的電腦都得處理日期與時間，電腦內的日期與時間資料影響很多事情，嚴重的，可以令電腦跑不起來。例如：以前，硬體組態設定 CMOS 所需的電力不足時，這個資料就會歸原成出廠時的原始時間，就不能上網，我曾經吃過這種虧，只好每次開機時，人工調整出正確的日期與時間才上網。
我試了三套不同作業系統的電腦，都能印出月曆，在顯示的動態時間訊息上，用滑鼠點一下就行，操作摘要如下：
W10 --> click right down corner
Ubuntu --> click right upper corner
Mac --> click right upper corner
在命令提示字元全黑視窗(command console)中，都可以下這個命令得到時間，寫程式需要時，可用來叫用: $ date
顯然，這麼重要的事情，電腦內必須有軟體來處理，還必須被設計成可以被公眾方便叫用的程式。因此，很多人寫這種相關程式來當作範例教材。Win32Forth 系統中 Demos 資料夾內，就有一個叫作 CalendarDemo 的範例，它採用物件導向程式(OO，Object-Oriented programming)的設計方式，印出一個半年曆。您可以自己打開該檔案來看看，我保證您看不懂程式寫法與程式中的叫用方法。OO 程式方式已經被淘汰了，以前與以後的慣常 Forth ，都不會具有這種功能，無法傳承，所以，您也別浪費時間去研究，我會用，但不想浪費時間介紹。
這個範例程式的執行原理，是根據一個簡化後的儒略日(julian day)計算程式，只處理1950年以後的日期，算出某個月份第一天的儒略日數值。根據這個數值，就能決定這一天必定是星期幾？再配合另外的指令，可以算出該年是否為閏年？該月有幾天？就能印出月曆。想想看，如果不給你程式，只給你這三個參數，您是否也能手寫出月曆？若是，這個程式也就是根據這個道理印出月曆的。關於儒略日這個術語，後面還有精確的算法範例程式，會再解釋，這裡就不討論，暫時只要知道，它能用來算出某年某月某日必定是星期幾，就夠了。
應用時，程式最後，提示了使用方法。
細研時，程式後面的說明很健全，每個指令執行前後堆疊上數據的變化，都有詳細的敘述。
學習時，請看看如何寫程式？學會怎樣才能把程式寫得清楚明白？日後便於追查、校正、再利用。程式中也有 CASE ----- ENDCASE 多重分支的標準用法，可以學習。
想摸通輸出月曆格式印出來的設計方法，就得實際去操作，才能看到結果。
:
所有的電腦都得處理日期與時間，電腦內的日期與時間資料影響很多事情，嚴重的，可以令電腦跑不起來。例如：以前，硬體組態設定 CMOS 所需的電力不足時，這個資料就會歸原成出廠時的原始時間，就不能上網，我曾經吃過這種虧，只好每次開機時，人工調整出正確的日期與時間才上網。
我試了三套不同作業系統的電腦，都能印出月曆，在顯示的動態時間訊息上，用滑鼠點一下就行，操作摘要如下：
W10 --> click right down corner
Ubuntu --> click right upper corner
Mac --> click right upper corner
在命令提示字元全黑視窗(command console)中，都可以下這個命令得到時間，寫程式需要時，可用來叫用: $ date
顯然，這麼重要的事情，電腦內必須有軟體來處理，還必須被設計成可以被公眾方便叫用的程式。因此，很多人寫這種相關程式來當作範例教材。Win32Forth 系統中 Demos 資料夾內，就有一個叫作 CalendarDemo 的範例，它採用物件導向程式(OO，Object-Oriented programming)的設計方式，印出一個半年曆。您可以自己打開該檔案來看看，我保證您看不懂程式寫法與程式中的叫用方法。OO 程式方式已經被淘汰了，以前與以後的慣常 Forth ，都不會具有這種功能，無法傳承，所以，您也別浪費時間去研究，我會用，但不想浪費時間介紹。
這個範例程式的執行原理，是根據一個簡化後的儒略日(julian day)計算程式，只處理1950年以後的日期，算出某個月份第一天的儒略日數值。根據這個數值，就能決定這一天必定是星期幾？再配合另外的指令，可以算出該年是否為閏年？該月有幾天？就能印出月曆。想想看，如果不給你程式，只給你這三個參數，您是否也能手寫出月曆？若是，這個程式也就是根據這個道理印出月曆的。關於儒略日這個術語，後面還有精確的算法範例程式，會再解釋，這裡就不討論，暫時只要知道，它能用來算出某年某月某日必定是星期幾，就夠了。
應用時，程式最後，提示了使用方法。
細研時，程式後面的說明很健全，每個指令執行前後堆疊上數據的變化，都有詳細的敘述。
學習時，請看看如何寫程式？學會怎樣才能把程式寫得清楚明白？日後便於追查、校正、再利用。程式中也有 CASE ----- ENDCASE 多重分支的標準用法，可以學習。
想摸通輸出月曆格式印出來的設計方法，就得實際去操作，才能看到結果。
:
\ Example 8. Calendars
VARIABLE JULIAN ( Julian date of 1st of a year, from Jan. 1, 1950)
VARIABLE LEAP ( 1 for a leap year, 0 otherwise. )
1461 CONSTANT 4YEARS ( number of days in 4 years )
: YEAR ( YEAR --, compute Julian date and leap year )
1949 - 4YEARS 4 */MOD ( days since 1/1/1949 )
365 - JULIAN ! ( 0 for 1/1/1950 )
3 = ( modulus 3 for a leap year )
IF 1 LEAP ! ( leap year )
ELSE 0 LEAP ! ( normal year )
THEN ;
: FIRST ( MONTH -- 1ST, 1st of a month from Jan. 1 )
DUP 1 =
IF DROP 0 ( 0 for Jan. 1 )
ELSE DUP 2 =
IF DROP 31 ( 31 for Feb. 1 )
ELSE DUP 3 =
IF DROP 59 LEAP @ + ( 59/60 for Mar. 1 )
ELSE 4 - 30624 1000 */
90 + LEAP @ + ( Apr. 1 to Dec. 1 )
THEN
THEN
THEN
;
: DAY ( DD MM YYYY -- JULIAN-DAY )
YEAR ( Compute JULIAN and LEAP)
FIRST + 1- ( add DD to 1st of the month )
JULIAN @ + ( add to Jan. 1 of the year )
;
: STARS 0 DO 42 EMIT LOOP ; ( form the boarder )
: header ( n -- ) ( print title bar )
cr cr 26 stars space
case 1 of ." January " endof
2 of ." February " endof
3 of ." March " endof
4 of ." April " endof
5 of ." May " endof
6 of ." June " endof
7 of ." July " endof
8 of ." August " endof
9 of ." September" endof
10 of ." October " endof
11 of ." November " endof
12 of ." December " endof
DROP
endcase
space 27 stars cr cr
." SUN MON TUE WED THU FRI SAT"
cr cr ( print weekdays )
;
: BLANKS ( MONTH -- ) ( skip days not in this month )
FIRST JULIAN @ + ( Julian date of 1st of month )
7 MOD 8 * SPACES ; ( skip columns if not Sunday )
: .DAYS ( MONTH -- ) ( print days in a month )
DUP FIRST ( days of 1st this month )
SWAP 1 + FIRST ( days of 1st next month )
OVER - 0 ( loop to print the days )
DO I OVER +
JULIAN @ + 7 MOD ( which day in the week? )
0= IF CR THEN ( start a new line if Sunday )
I 1 + 8 U.R ( print day in 8 column field )
LOOP
DROP ; ( discard 1st day in the month )
: MONTH ( N -- ) ( print a month calendar )
DUP
HEADER DUP BLANKS ( print header )
.DAYS ; ( print days )
: CALENDAR ( YEAR --- ) ( print year calendar )
YEAR ( compute JULIAN and LEAP )
13 1 DO I MONTH LOOP ( print 12 month calendars )
CR CR 64 STARS ; ( print last boarder )
\s
Usage:
yyyy YEAR mm MONTH
or
yyyy CALENDAR
第(09)個程式，是一個可以用來精算出任何年代之儒略日的程式。
前一個範例程式，用來計算儒略日的設計方法，只適用於 1900 年以後的日期，算起來就能比較快。
這個程式，則適用於人類信史以後，所有的年代與日期，計算量較多。
安排百例的原則，本應以簡短精要為主，前一程式稍長，但因事涉一個完整的典型應用，所以，我仍採用。這樣安排百例，不是隨興之所致而編排，其來有自。展示了前例，若還有牽扯，就接續產生下一個相關範例。前十個範例，仍然是以傳統的 Forth 程式格式為主，我才能借助於這樣的前引，導入我們的正軌，後面才引介 ABC FORTH 。
我接觸『儒略日』術語的日期，是早在民國 62 年(1973)我唸大三時。那時，我們只能寫 FORTRAN 程式，一學期只允許跑 11 次 mainframe 大電腦。終端機管理員，是學校剛畢業的應數系學長，很兇，要是沒有跟他們搞好關係，想要獲得一份電腦印出來、帶有蒙娜麗莎微笑之年曆，那就別想。於是，我就花時間了解曆法，研究月曆的產生方式，結果，從天文曆書上找到了答案，知道何謂儒略日？知道憑它印出月曆的規矩。天文學與曆法學對我們在校的學習成績沒有幫助，不會有助於畢業後按成績的分發，我只是有興趣把這個電腦內一定要用到的基本程式搞清楚。我從 1973 年的 Astronomical Almanac 學到了這麼一句話：『儒略日數加 1，以 7 除之，餘數即星期順序。』這本書，現在還在。我不想浪費篇幅介紹何謂儒略日？有興趣，請自己查一下 Google，就可以得到答案。我在今天的貼文中，告訴您相關於 Forth 資料的來源，反而比較重要。
網上的 Forth 科學程式庫中，第 22 個貢獻，就是計算儒略日的程式。網頁是：
Julian day in FSL source:
The Forth Scientific Library Project
https://www.taygeta.com/fsl/sciforth.html
||
||
\||/
\/
22. Conversion between calendar date and Julian day
https://www.taygeta.com/fsl/scilib.html
從源程式資料中，您可以看出，簡化算法與精確算法，兩種都有。簡化只需利用精確算法，得到 1900.01.01 的日數，以其重新做為計算基準，就能改採較為簡單的固定參數來簡化計算。簡化相關參數的 ABC FORTH 程式寫法，放在第(16)個程式內當範例。
與日期、時間相關的程式，在電腦系統中都很重要，除了搞月曆的日期，還有搞時間顯示的程式，我都能自己設計，搞程式設計的人就該學會這門技術。APPPLE II 的時代，我曾為台灣中壢工業區的力固磅秤公司，以 6522 晶片產生標準時基，設計一整天都能夠產生的精確時間，並將其設計成可被叫用的程式，他們要用它來管制卡車進出貨時的記錄，需要精確時間。我辦到了，賺到了一台謝崧梅贈送的撞擊式印表機。告訴大家這個故事，說明了程式技術是有價值的東西，請好好珍惜。如果有一天，我們也用 Forth 設計出作業系統，這些程式技術都得用上。
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前一個範例程式，用來計算儒略日的設計方法，只適用於 1900 年以後的日期，算起來就能比較快。
這個程式，則適用於人類信史以後，所有的年代與日期，計算量較多。
安排百例的原則，本應以簡短精要為主，前一程式稍長，但因事涉一個完整的典型應用，所以，我仍採用。這樣安排百例，不是隨興之所致而編排，其來有自。展示了前例，若還有牽扯，就接續產生下一個相關範例。前十個範例，仍然是以傳統的 Forth 程式格式為主，我才能借助於這樣的前引，導入我們的正軌，後面才引介 ABC FORTH 。
我接觸『儒略日』術語的日期，是早在民國 62 年(1973)我唸大三時。那時，我們只能寫 FORTRAN 程式，一學期只允許跑 11 次 mainframe 大電腦。終端機管理員，是學校剛畢業的應數系學長，很兇，要是沒有跟他們搞好關係，想要獲得一份電腦印出來、帶有蒙娜麗莎微笑之年曆，那就別想。於是，我就花時間了解曆法，研究月曆的產生方式，結果，從天文曆書上找到了答案，知道何謂儒略日？知道憑它印出月曆的規矩。天文學與曆法學對我們在校的學習成績沒有幫助，不會有助於畢業後按成績的分發，我只是有興趣把這個電腦內一定要用到的基本程式搞清楚。我從 1973 年的 Astronomical Almanac 學到了這麼一句話：『儒略日數加 1，以 7 除之，餘數即星期順序。』這本書，現在還在。我不想浪費篇幅介紹何謂儒略日？有興趣，請自己查一下 Google，就可以得到答案。我在今天的貼文中，告訴您相關於 Forth 資料的來源，反而比較重要。
網上的 Forth 科學程式庫中，第 22 個貢獻，就是計算儒略日的程式。網頁是：
Julian day in FSL source:
The Forth Scientific Library Project
https://www.taygeta.com/fsl/sciforth.html
||
||
\||/
\/
22. Conversion between calendar date and Julian day
https://www.taygeta.com/fsl/scilib.html
從源程式資料中，您可以看出，簡化算法與精確算法，兩種都有。簡化只需利用精確算法，得到 1900.01.01 的日數，以其重新做為計算基準，就能改採較為簡單的固定參數來簡化計算。簡化相關參數的 ABC FORTH 程式寫法，放在第(16)個程式內當範例。
與日期、時間相關的程式，在電腦系統中都很重要，除了搞月曆的日期，還有搞時間顯示的程式，我都能自己設計，搞程式設計的人就該學會這門技術。APPPLE II 的時代，我曾為台灣中壢工業區的力固磅秤公司，以 6522 晶片產生標準時基，設計一整天都能夠產生的精確時間，並將其設計成可被叫用的程式，他們要用它來管制卡車進出貨時的記錄，需要精確時間。我辦到了，賺到了一台謝崧梅贈送的撞擊式印表機。告訴大家這個故事，說明了程式技術是有價值的東西，請好好珍惜。如果有一天，我們也用 Forth 設計出作業系統，這些程式技術都得用上。
:
\ Example 9. The true Julian date
: JULIAN-DATE ( DD MM YYYY -- d, Julian date as a double integer )
>R ( save YYYY on return stack)
DUP 9 + 12 / ( 0 for Jan/Feb, 1 for others)
R@ + 7 * 4 / NEGATE ( take 1.75 days out for each year)
( 365.25=367-1.75 )
OVER 9 + 12 / NEGATE
R@ +
100 / 1 + 3 * 4 / - ( leap days generated by centuries)
SWAP 275 9 */ ( days in year before this month)
+ + ( add DD, days in year and misc)
S>D 1.721029 D+ ( add Julian date of Jan 1, 0 AD)
367 R> UM* D+ ( add days of prior years )
;
: whatday ( dd mm yyyy -- )
julian-date d>s 1+ 7 mod . ;
\s
Usage:
dd mm yyyy whatday
例：
1 1 2013 whatday 2
第(10)個程式，以整數表示法算出數學函數 sin 及 cos 。
這個程式原本是 16 位元時代的產物，已經不適合現代，但仍有存在於單板微處理器上的價值，所以留作範例。
16 位元的時代，最大單整數只能表示到 65535 ， 32 位元則可以有 10 位數， 64 位元可以有 18 位數。
所以， 8 位元的時代，微處理器上，不適合搞浮點運算，16 位元則勉強尚可，4 位有效數字仍有用途。
32 位元以後，才是比較可以正式使用浮點運算的恰當環境，已經可以有 10 位有效數字， 64 位元就更不用說了。
我熟悉浮點系統中基本函數的設計方法，學過，也試用過無數種算法，知道各種算法之優劣，包括只用硬體數學運算處理器來獲得函數的方法，也非常熟悉。所以，我設計的 ABC FORTH 系統中都具有浮點運算的全套功能。今天可以使用這些浮點性能分析問題，但只用來討論此第(10)個程式的設計內容。
最有效率的 sin 與 cos 函數值產生方法，是使用泰勒(Taylor)級數展開式的算法。我先把式子列在這裡：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ….
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ….
算法學上，強調效率，上列表示式必須改成計算次數少、能夠算得快、不會造成溢位的多括弧表示式。若只取四項，可以寫成：
sin(x) = x(1-x^2/6(1-6x^2/120(1-120x^2/5040(1-5040x^2/362880))))
cos(x) = (1-x^2/2(1-2x^2/24(1-24x^2/720(1-720x^/40320))))
上列表示式，就是用來設計這兩個函數的根據式子。
在整數系統中沒有小數點，函數值只好以放大位數的方式表示，在 16 位元中的最大整數為 65535 ，為了能夠健全顯示所有的數值，只能安排少掉一位數的方式表示，結果，數字只適合放大一萬(myriad)倍，所以，程式中有一個宣告產生的常數叫做 10K 。放大一萬倍後，函數值只剩四位數有效值。而輸入的格式，被設計成採用 0 到 90 度數的方式，例如：角度為 37 度，就使用『 37 sin . 』的方式獲得 6017 的結果，表示所得的函數值是 0.6017 。您可以用硬體數學計算處理器測試答案，應該是：
37.0e0 FPI F* 180.0e0 F/ FSIN F. .601815
我的 ABC FORTH 提供了一個更方便的計算器(calculator)式的使用法，可以直接執行出下列結果，不妨自行試試看：
REXP sin ( 37 * FPI / 180 )
RANS .601815
換句話說，這個程式，使用起來沒有問題，誤差只有萬分之一。
程式中，執行 (sin) 時，用到幾個常數，它們的來源，是上列式子中各個係數的倒數，例如：72、42、20、6 就是上列 sin(x) 表示式中常數部分之倒數:
72=362880/5040
42=5040/120
20=120/6
6=6/1
同理，可以類推出執行 (cos) 時所需用到的幾個常數。
只有 4 位有效位數的函數值有什麼用？還很有用。
最簡單的舉例，就是直接用它設計螢幕上的繪圖，螢幕的解析度一般只有 1024 點左右，萬分之一的精確度很夠用了，繪製動態展示圖時，用這種純粹單整數的函數算法計算時，可以很省時間，產品就可以具有快速的動感。
以前，我們也用這種方法設計自動焊接機器的定位驅動，由於算得很快，驅動效果非凡，燒焊弧線，一點問題也沒有。
我搞工程，熟知工程界把千分之一的精確度叫做一條，算是很精準。以前，德國人賣的工作母機配上光學尺，生產時，才能有這樣的精確度。一般工廠中使用的儀錶，精確度平均都只有 5% ，好錶的精確度也只有 3% 。我任公職退休前管理過的原子爐中，只有一個超級精確的重水液位顯示儀器，可以有 1% 的精確度。
這樣的解釋，告訴大家，萬分之一，很準了。
:
這個程式原本是 16 位元時代的產物，已經不適合現代，但仍有存在於單板微處理器上的價值，所以留作範例。
16 位元的時代，最大單整數只能表示到 65535 ， 32 位元則可以有 10 位數， 64 位元可以有 18 位數。
所以， 8 位元的時代，微處理器上，不適合搞浮點運算，16 位元則勉強尚可，4 位有效數字仍有用途。
32 位元以後，才是比較可以正式使用浮點運算的恰當環境，已經可以有 10 位有效數字， 64 位元就更不用說了。
我熟悉浮點系統中基本函數的設計方法，學過，也試用過無數種算法，知道各種算法之優劣，包括只用硬體數學運算處理器來獲得函數的方法，也非常熟悉。所以，我設計的 ABC FORTH 系統中都具有浮點運算的全套功能。今天可以使用這些浮點性能分析問題，但只用來討論此第(10)個程式的設計內容。
最有效率的 sin 與 cos 函數值產生方法，是使用泰勒(Taylor)級數展開式的算法。我先把式子列在這裡：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ….
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ….
算法學上，強調效率，上列表示式必須改成計算次數少、能夠算得快、不會造成溢位的多括弧表示式。若只取四項，可以寫成：
sin(x) = x(1-x^2/6(1-6x^2/120(1-120x^2/5040(1-5040x^2/362880))))
cos(x) = (1-x^2/2(1-2x^2/24(1-24x^2/720(1-720x^/40320))))
上列表示式，就是用來設計這兩個函數的根據式子。
在整數系統中沒有小數點，函數值只好以放大位數的方式表示，在 16 位元中的最大整數為 65535 ，為了能夠健全顯示所有的數值，只能安排少掉一位數的方式表示，結果，數字只適合放大一萬(myriad)倍，所以，程式中有一個宣告產生的常數叫做 10K 。放大一萬倍後，函數值只剩四位數有效值。而輸入的格式，被設計成採用 0 到 90 度數的方式，例如：角度為 37 度，就使用『 37 sin . 』的方式獲得 6017 的結果，表示所得的函數值是 0.6017 。您可以用硬體數學計算處理器測試答案，應該是：
37.0e0 FPI F* 180.0e0 F/ FSIN F. .601815
我的 ABC FORTH 提供了一個更方便的計算器(calculator)式的使用法，可以直接執行出下列結果，不妨自行試試看：
REXP sin ( 37 * FPI / 180 )
RANS .601815
換句話說，這個程式，使用起來沒有問題，誤差只有萬分之一。
程式中，執行 (sin) 時，用到幾個常數，它們的來源，是上列式子中各個係數的倒數，例如：72、42、20、6 就是上列 sin(x) 表示式中常數部分之倒數:
72=362880/5040
42=5040/120
20=120/6
6=6/1
同理，可以類推出執行 (cos) 時所需用到的幾個常數。
只有 4 位有效位數的函數值有什麼用？還很有用。
最簡單的舉例，就是直接用它設計螢幕上的繪圖，螢幕的解析度一般只有 1024 點左右，萬分之一的精確度很夠用了，繪製動態展示圖時，用這種純粹單整數的函數算法計算時，可以很省時間，產品就可以具有快速的動感。
以前，我們也用這種方法設計自動焊接機器的定位驅動，由於算得很快，驅動效果非凡，燒焊弧線，一點問題也沒有。
我搞工程，熟知工程界把千分之一的精確度叫做一條，算是很精準。以前，德國人賣的工作母機配上光學尺，生產時，才能有這樣的精確度。一般工廠中使用的儀錶，精確度平均都只有 5% ，好錶的精確度也只有 3% 。我任公職退休前管理過的原子爐中，只有一個超級精確的重水液位顯示儀器，可以有 1% 的精確度。
這樣的解釋，告訴大家，萬分之一，很準了。
:
\ Example 10. Sines and Cosines
31415 CONSTANT PI
10000 CONSTANT 10K ( scaling constant )
VARIABLE XS ( square of scaled angle )
: KN ( n1 n2 -- n3, n3=10000-n1*x*x/n2 where x is the angle )
XS @ SWAP / ( x*x/n2 )
NEGATE 10K */ ( -n1*x*x/n2 )
10K + ( 10000-n1*x*x/n2 )
;
: (SIN) ( x -- sine*10K, x in radian*10K )
DUP DUP 10K */ ( x*x scaled by 10K )
XS ! ( save it in XS )
10K 72 KN ( last term )
42 KN 20 KN 6 KN ( terms 3, 2, and 1 )
10K */ ( times x )
;
: (COS) ( x -- cosine*10K, x in radian*10K )
DUP 10K */ XS ! ( compute and save x*x )
10K 56 KN 30 KN 12 KN 2 KN ( serial expansion )
;
: SIN ( degree -- sine*10K )
PI 180 */ ( convert to radian )
(SIN) ( compute sine )
;
: COS ( degree -- cosine*10K )
PI 180 */
(COS)
;
\s
Usage:
To test the routines, type:
90 SIN . ( 9999 )
45 SIN . ( 7070 )
30 SIN . ( 5000 )
0 SIN . ( 0 )
90 COS . ( 0 )
45 COS . ( 7071 )
0 COS . ( 10000 )
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