常微方程式之 Runge-Kutta 解法

常微方程式之 Runge-Kutta 解法

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

2 April 2026

本文專注於引用單一文獻，將一個標準的 FORTRAN 程式，直接改寫成 ABC FORTH 數學計算系統可以執行的程式。改寫的方式幾乎是一列一列對應式的翻譯，執行解得的答案必須與原資料文獻一致，操作的便利性必須符合現今時代潮流，內容則是一個實用的數值分析標準範例。

參考文獻源自：

Brice Carnahan, H. A. Luther, James O. Wilkes, “Applied Numerical Methods”, Chapter 6. Example 6.3. p.367 ~ p.380,

“Forth-order Runge-Kutta method - transient behaviour of a resonant circuit”

本文的主要目的，並不想詳細講解，如何使用計算機設計程式來求解常微方程式？也不想詳細介紹所謂的 Runge-Kutta method ，數值分析專門書籍內可以找到這方面的知識，上述文獻就是非常完整的標準教材。重點集中於強調：如何將任何 FORTRAN 數值分析程式改寫成 ABC FORTH 程式？並展示，大型、複雜、實用的 FORTRAN 數值分析程式很容易改寫，所得的程式，比原 FORTRAN 程式使用起來更為方便。

過去幾十年，普天之下，已不知有多少的專家學者，發表過難以計數卻都非常有用的 FORTRAN 數值分析程式。電腦科技的演進，如果會廢棄這些先聖先賢費盡心血提供出來的研究成果，那就實在是人類的悲哀了，很不幸的是，目前電腦軟體技術的走向，傾向於如此。當年，許多聖賢，公開電腦技術，研究解決數學問題所做的貢獻，都寫成程式、發表成論文，有許多都算得上是精彩的博士論文。但是，現今的電腦環境，幾乎已經不容易再去執行那些有用的程式了。本文單舉一個例子，以 ABC FORTH 數學計算系統實現這種功能。幾十年來的專家學者，在數值分析實務上所做過的貢獻，完全可以輕易的使用 ABC FORTH 數學計算系統令其重現，並且化腐朽為神奇。

本文的主題，大約是理工科系大學三年級以上的學生，才可能遇到的特別數學問題。如果 ABC FORTH 數學計算系統，能夠解決這一等級的數值分析問題，那麼處理一般性的數學計算問題就當然是輕而易舉。已經擁有 ABC FORTH 數學計算系統的使用者，請耐心的讀完本文，以這個實例學會譯寫 FORTRAN 程式，這是本章的宗旨。

常微方程如何用程式來求得解答？

大學中的常微方程課程，教材內容偏重於理論數學，專挑一些理想化了的典型常微方程，例如：線性、常數係數、低階、規則型態的方程式來解釋分析，最重要的是，要能手解求得存在的唯一解答，如此才能讓學生建立常微方程式所代表的觀念，各個理工科系的學生，各有應該專注的不同型態之常微方程，各自深入了解後，就可以應用到後續所學的專業科目上去，能用手解得到的答案，有一個專門術語，稱作解析解(Analytical solution)，也就是透過數學理論解釋分析後歸納出來的答案，健全完整，考試要考。

理論上的手解方法，通常都已固定落實了，甚至於都可以寫成公式直接套用。通常的解法，是以固定的演算程序，寫出常微方程之係數尚未確定前的通解(General solution)，然後，將已知的起始條件(Initial condition)或邊界條件(Boundary condition)代入通解，最後，確定通解中各項式的未定常數係數，便能獲得代表符合所有條件的特解(Special solution)。

理工科系的學生，要用這些解答來探討他所研究學習的專業科目問題，例如：機械工程系的學生，解得流體力學或熱傳導學的常微方程答案後，就可以了解系統內物理現象變化的趨勢。電機工程系的學生，解得電磁學的常微方程答案後，就容易明白電磁現象的變化。土木工程系的學生，也按同樣的方式，就能夠了解建築結構上力的分佈。化學工程系的學生，用同法來了解化學反應變化。換句話說，工程科技，一定要學常微方程，甚至於偏微方程。

上述僅用一段話，說明求解常微方程的目的，而常微方程通常都是表達自然現象的一種數學式子，能夠被手解的類型所佔比例是非常少的，科學家要大刀闊斧的合理簡化式子後，才能讓原來表示自然現象的常微方程變成可解析，這就是科學上常說的大膽假設。

現實世界中，如果學過了某門工程科學，日後工作時遇到了實際的常微方程，不能每次都用大膽假設法解問題。從事於工程工作是負有責任的，不能全憑假設解問題；較無責任問題的研究工作，有時也不搞假設，因為如果假設不成就會長期沒有進展，研究停滯不前。不能手算獲得解析解的常微方程，不一定就無法可解，科技發展到今天，有了電腦可以協助人類進行快速數學計算，產生了所謂的數值分析技術，以分析問題後採用有依據的數值計算方法，用逼近答案的演算方式求得解答，其結果同樣可以讓人類了解自然現象變化的趨勢而解決科學問題，這樣的解題方法，在學校兩小時的考場內，考試沒辦法考。

求解常微方程的答案時，使用數值分析法與使用手算推演解析解法完全不同，就比較二者在得到答案程序的差異上而言，甚至於可以說是採用完全相反的步驟與方式來獲得解答的。數值分析法一開始，就得使用唯一已經確定的起始條件點或邊界條件點，做為起算基點。古時候，有很多的聖賢應用數學家，例如：本文採用的 Runge-Kutta method 即為其中之一，研究出各種逐步演算推進到下一點的合理方法，寫成數學通式，再翻譯成電腦可以執行的計算程式，藉由電腦的快速演算能力，逐點計算，逐點推進，便可算出此後所有合乎常微方程式所有條件的答案值來。

上述兩種解法所得的答案，最大的不同點，顯示在答案的表示方式上。解析解的答案通常都是可以寫成漂漂亮亮的數學函數的解答，所有工程科系的學生都習慣見到這樣的解答。數值分析解法所獲得的答案，見不到函數表示式，僅只有好幾筆一序列長串印出的數目字，乍看之下，實在不容易看出個所以然來。然而，在應用上，兩種答案意義是一樣的，而且理論上必須相等。這就好比您在查函數表的數值時，您也看不到函數表示式一般，但可以立刻用來解決工程問題。

數值分析技術一定要用到『函數曲線繪圖程式』，利用繪製函數曲線圖形的程式，就可以用圖形來顯示上一段敘述內所得到的數目字解答，將答案繪製成圖後，您就能夠完全了解，數值分析法解得答案的意義了。

以前大學教育裡不太教這種解題技術，當時，電腦的運用沒有那麼方便，情有可原，現在的大學應該要重視這方面的教材，因為，這是一種實際的解題方法，正式的工程問題就得使用。您用得好，工程或研究就做得好，您用不好，工程或研究就做不好。只會解析解的工程科系學生，考試可能可以考得高分，稱得上是秀才。但如果秀才抗拒電腦，拒絕學會數值分析法解工程或研究問題，秀才就會經常沒有用。兩種方法都搞得很好，才能算是人才，我們的社會需要人才而不是秀才。

本文採用的大型例題，要完全研究透徹，須要仔細讀完大約五十頁的英文原文著述，是數值分析教材中一章的份量，若要全譯成漂亮的中文，就得大費周章。我創作 ABC FORTH 系統的主旨不在這裡，我就是希望今後這種文章都不必寫了，只要忠實的告訴您，題材的原始出處，您自行參考，直接取來運用，為後代子孫著想，節約人類寶貴的資源，才是主要宗旨。

這個例題是電路學上，一個分析電阻、電容、電感(RCL)三個電子元件，串聯成一封閉迴路所形成的振盪電路，它可以寫成一個二次的常微方程，來表示電壓隨時間變化的關係，希望能解得具有起始條件後電壓隨時間暫態變化的趨勢解答。

起始條件係假設迴路原為開路狀態，瞬間在電容兩端充以 10 伏特電壓，並立刻將開路改成閉路，則電容兩端電壓隨時間變化的二次常微方程表示式，及這樣的初始條件可以表示式為：

LC*(d(dV/dt)/dt)+RC*(dV/dt)+V=0
V(0) = 10
dV(0)/dt = 0

三個電路元件的物理量假設為：
電容值固定為 C = 2 * 10 ^ -6 farads
電感值固定為 L = 0.5 henries (程式中被表示為 HL )
電阻值可選擇為 R = 0, 100, 1000, 1500 ohms
電容兩端瞬間起始電壓固定為 10 volts
分析時步進間隔值分採 H = 0.00001, 0.0001, 0.001, 0.002, 0.005, 0.01 sec
分析最長時間設定成小於 0.02 秒，亦即 TMAX < 0.02 sec

這個典型的例題是屬於一個可以手算求得解析解的問題，因此，解析解也被用在程式中直接計算，以便將所得結果，與使用 Runge-Kutta method 數值分析解法所得的答案，進行直接比對，驗證數值分析法的合理有效。

詳細的分析與討論，本文不再贅述，有興趣的讀者請自行參考文獻。

這個程式可以被應用到求解所有的常微方程上去，包括高於二次以上的高次常微方程，前處理分析出來的相關通式改寫成程式後，被安排在 MAIN 指令的第 120 及 130 兩列中，想應用於別的常微方程式問題時，就得在這裡替換通式表示式，詳細過程仍請參考文獻後仿照應用。

我可以把這個程式寫得更好、更有效率、更有通用性，但達不到教大家直接改寫 FORTRAN 程式進入 ABC FORTH 系統的效果。因此，我以最大的耐心，逐列翻譯。除了前文曾經提及的輸出、輸入全自創，而不改寫外，整個程式幾乎沒有需要大肆更動之處，簡單的程度，就好比將四川話翻譯成普通話那麼簡單。 FORTRAN 裡面有一個可以多重分支，GO TO (1,2,3,4,5), M 的指令，也很容易依理改寫。程式改寫完畢後的執行結果，當然要與原文列印的結果相同，最多僅能有小數點後面少數幾位數的系統計算性能誤差。這些基本要求， ABC FORTH 都一一實現了，而可以迅速的操作性能，則是 FORTRAN 程式語言所無法辦到的。

微分方程的數值分析解法，其實強調的重點是在試出最恰當的每次步進間隔值，如本文範例程式中的 H ，應該取多少才恰當？取的太大了，逐點推進演算的結果就會算不準。取的太小了，每次可以推進的距離就很小，要算很久、很多點後才有結果。這個現象就如同使用離散(Discrete)表示法，以可隨時間變化的加速度來計算下一個速度值，離散時刻的時間分割至很小時，解答會較準，但要推進很多點後才會有最後希望知道的速度答案。一次就想算得許久時刻後的速度，答案就會很離譜，表示時間間隔值取的太大了，根本不能這樣算。如果重點是這樣，那麼容易操作的數學計算系統就會很有用，可以快速修改、調整、獲得恰當的步進間隔值結果。 ABC FORTH 當然比 FORTRAN 好用多了，這就是我為什麼創作 ABC FORTH 數學計算系統的主因，它可以使運用電腦解決問題的習慣完全改觀。能夠執行數學計算的系統不算甚麼，擁有即時性操作效果的系統就非等閒之輩了。

我以這種方式貢獻給大家的 ABC FORTH 數學計算系統，能使此前出版過的所有數值分析教科書永遠有用，永遠不必被淘汰，因為應用數學的理論部份，是大約 200 年不會過時的，書中的實務範例程式，則可以經由 ABC FORTH 數學計算系統輕易再生，這樣做等於是『化腐朽為神奇』，講求社會道德，減少隨便廢棄有用物質而造福全人類。

我不想浪費時間在電腦編輯系統中，尋找漂亮的數學表示符號編寫這篇文章，所以一些數學表示式，就編寫成意義相同，外觀卻有一點不尋常的格式。

原 FORTRAN 程式去除刊頭文字說明及無用的 FORMAT 內容後，重新打字輸入於此處，數據及執行結果則不再編列於此。改寫完成的 ABC FORTH 對應程式，及其中一套數據輸入後的執行結果，則用電腦系統的可選擇性複製、轉換環境後再貼上的功能，轉置到此處，這是一篇實用教材。

如何設計高低階混用碼指令？

如何設計高低階混用碼指令？

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

16 March 2026

在某些特殊情況，當我們使用 FORTH 系統提供的所有現成指令設計程式時，會希望高低階指令可以任意混合使用，這種特殊編寫程式的功能稱之為混碼程式(Mixing code)技術。程式語言可以有許許多多的古怪技術，但對 FORTH 而言，只要是你描述得出來的技術， FORTH 沒有設計不出來的，而且強調僅由個人私下就可以解決，這是 FORTH 具有延伸性性能使然。不像其他程式語言，特殊功能通常要等原販售公司將其添加於系統，發行新版後才有可能，因為大多數程式語言均屬封閉性，不容使用者隨意修改系統既定功能。本文介紹如何為 FORTH 系統添加混碼程式功能？它就是一個 FORTH 程式語言與其他程式語言比較時，在眾多性能差異上，特別成為鮮明對比的例子。

1 預備知識

初學 FORTH 之人，可能較難看懂這種指令的設計原理，因為初學者通常不會一開始就直接接觸理論性的『FORTH系統結構』與『FORTH指令基本結構』，更進一步的『FORTH執行原理』，則要等學過 FORTH 後，還有興趣深入探討系統時才會去研究它，而欲設計這種指令時，必須先具備這些基本知識，否則不易透徹了解它們的設計方法。另外，因為要混用高低階指令編寫程式，系統當然要具備 FORTH Assembler 的功能，在使用 FORTH 組合語言時，所有的規矩也都得遵循，要有『CPU內有那些暫存器不可亂用？』的限制觀念。上述的預備知識就成了能看懂本文的基本要素了。屬於系統部份的預備知識，你可以從 1987 年 4 月我們出版過的『FORTH期刊』中獲得。組合語言的部份要自行下功夫實作後才能真正體會了解，要先行標出 CPU 內那些暫存器被 FORTH 系統規劃掉了？必須避開不用，或用前搬開內容，用完再合理恢復，所寫的程式執行時才不會出錯。

這些指令不屬於標準指令，在歷來的標準指令表中找不到他們的蹤跡，甚至於最新的 ANSI 標準中也絕口不提，可是它在 FORTH 發展的早期就已經被經常使用了，很久以前，我們在使用這種性能已經多年之後，才在後來新發行的 C 類程式語言系統中見到它的仿照設計。 FORTH 有許多性能領先別人許久，一直到今天依然如此，我們還可以舉出多項性能是一般程式語言所沒有的，這也是為何學會 FORTH 後便愛用 FORTH 的原因。學會設計混碼程式需用指令的設計方法，將更加強對於 FORTH 系統的深入認識，也將終身受用。看懂本文，將來就能輕易的為任何新出現的 FORTH 系統添加此一性能，這是作者為傳揚 FORTH 的最主要目的。因此，特別挑選了一個原本欠缺此一性能的大眾化系統來驗證它，就以 eForth32 做為設計基礎，為其添加此一性能。如果你手頭上使用中的系統已經有此性能，或者只有一半性能，例如：只能在高階定義指令中混入低階指令編寫程式，而於編寫低階定義指令時，還不能混入高階指令。那麼，你就可以根據本文自行添加此性能，自己磨練系統指令的程式設計能力，並與原已有功能比較，將是毫不遜色，因為不同的設計都將殊途同歸，對於程式執行速度或執行效果毫無影響。

如果你尚未準備好上述背景知識，建議你暫時不用細看本文，留供日後參考便可。通常一般商售的 FORTH 系統都提供了此一性能，它們較常用的指令名稱為 ： [C 、 C] 、 C: 、 ;C 之類的名稱。前二者成一對，使用在高階定義中轉入低階再轉回高階。後二者成另一對，使用在低階定義中轉入高階再轉回低階。不用讀通本文，你也可以直接使用這些指令，使用手冊的說明文獻也只能做到這個地步。

留供日後參考的建議係作者個人的贈言，四十幾年前，我們在中山科學研究院內的週五研討會上，討論過此項性能。我記得當時藍瑞賢個人獨衷 Zen-Forth 商售系統，其中只提供了這項功能的半套指令，而當時大家公認使用的推廣標準是無版權問題的 F83-FORTH 系統，已有完整的這項功能。為此問題我們另有 Poly-FORTH 系統，也有完整的這項功能，可以比照參考。陳爽的 FORTH 功力當時最好，他帶頭講解的結果，讓與會者此後便有能力自建此功能於任何系統，我則仔細的做了筆記。三十年前我們移民到了紐西蘭，我隨身攜帶來此的書籍、簿本，只有三樣，一本中英對照的『聖經』，一本精裝大字足本的『四書讀本』，另外就是所有的 FORTH 歷年筆記，這些都是精神糧食，好東西就應該留供日後參考，單純只留在腦袋中，老了是會忘記的。我在 eForth32 中重建此功能時，只花了半天時間，而且一次完成，為什麼？靠的就是筆記。

2 使用時機

我們可以舉出許多例子來強調這項功能非常方便，尤其是對一個想玩進 FORTH 系統內部的人更具有吸引力，因為它涉及了低階程式的可以無所不做能力，以及執行速度可以發揮到系統極限的先天優點，另外配上高階程式的現成與複雜功能，二者組合起來，在許多場合就相當方便。因此，若輕易就能擁有的功能，為何不用？它不是標準指令又有甚麼關係？ 舉例來說：如果我有一個程式想測系統性能，必須斤斤計較執行速度到系統的基本時脈週期程度。我曾寫過這種程式，就以讀取電腦中的標準時基計數器內容當標準，要讀得又快又穩又準，當然得用低階組合語言來寫程式，想像中幾乎是一瞬間就得到了參考時基，而且只用幾個低階指令，自己耗了幾個時脈數很容易清算，易於隨後扣除。接下來要處理計算與顯示時，若還只能用低階程式，那就非常痛苦了，這項高低階可以混用的功能就很有用處，讓問題極容易解決。

另外，我們在設計中斷處理程式最後，免不了要用低階程式來安放執行位址(Entry point)於中斷執行向量位置，中斷瞬間想以低階最快速度做一件事，隨後想做的事通常就很複雜，不用高階就不方便，做到關鍵處還有可能又要求用低階設計比較有效，如此又高又低的翻來覆去，這項功能更能提供方便。

還有一些平日設計的高階程式，在某些過程中想穿透系統去做一些沒有指令可用的工作，例如：像除錯工具指令一樣可以取得當時 FORTH 系統高階定義指令的程式計數器(Program counter) 內容，高階指令設計中便可混入幾個低階指令來完成。等同於 FORTH 系統高階指令程式計數器的專有名詞，在 FORTH 領域，則稱之為指令指標暫存器(Interpreter Pointer or Instruction Pointer，IP )，系統一般均不提供操作它的指令，古時候的系統則有此 IP 指令可用，它會直接取得系統執行當時的 IP 內容，有幾個結構化跳躍指令，可以藉助於此指令之存在而容易完成設計，後來有新觀念被發展出來才不用它了。

另外，一個接近終了的程式設計，也許會有強調必須改善執行速度的要求，大家都知道，此時非用低階指令取代設計不可了，如果可修正的指令不想搬離原設計位置，那麼，這項功能理所當然的可以提供服務。

還有無數的例子可以舉出，那怕僅只是玩一玩，當基本教材訓練學生，都是有用的，越用 FORTH 設計程式，就越能發現那些場合？可以讓這項功能盡量發揮。我常用，可是很不喜歡用這種程式來當作寫 FORTH 文章的題材，因為要用組合語言，文章只能在限用時間內有效，我擅長用卻不擅長描述這種程式，痛苦之至，最好不寫。很不幸本文的程式設計就不可或免的得用到一些組合語言，我只好將就一點，勉為其難的在該部份進行簡單說明。

3 基本原理

在解說問題時，必須將問題簡化才方便解釋，我們就以這個方式開始。 FORTH 系統中，強調所有的東西都盡可能為統一的格式，因此，無論是高、低階指令，或變數、常數、或字彙，它們的基本結構都是一致的，至少有名稱欄、連結欄，解碼欄、參數欄，某些系統還多了觀察欄或其他欄，我們暫時別管它們的存在與否，只考慮基本上標準的前四欄。

無論你如何寫程式，能被 FORTH 系統接受的最後結果，其格式仍必須符合標準結構的要求，否則不能被正常的執行。因此，我們現在探討的主題，也不能脫離這個範疇。也就是說，高階定義指令中混用低階的指令，或低階指令中混用了高階指令，這個基本結構規矩仍得遵循，不可以在基本結構中另出一基本結構，我們想解說的問題因此被簡化了一半。

四欄的結構有時又被分成兩個部份，一是頭部，也就是名稱欄與連結欄，另一個就是體部，也就是解碼欄與參數欄。分成兩部份，有時有利，有時有害，利害分析這部份，超出本文探討範圍，擱置不予置評，有許多系統都這樣做， eForth32 、Win32Forth 都是， F83 則不是。高階定義指令中使用低階，其中的低階既然不能也是一個原來的標準結構樣子，那麼，必須是怎樣的結構才能被系統接受呢？根據『FORTH執行原理』來考慮，如果我們能夠去除這個下屬於高階指令的低階指令其頭部，系統的執行機制就可以符合正常的 FORTH 系統執行原理。換句話說，如果我們將這樣的程式設計，搞成包括進來的低階指令沒了頭部，只有體部，那麼整個系統的執行機理就能維持而未被破壞。反之，低階指令中使用了高階，其理亦然，只能留住下屬者的體部，而不能有其頭部。根據這樣的原則，我們就能按照FORTH的執行原理，在邊界位置設計程式，來切換系統執行高階或低階指令時的相關程式計數器內容，以達到目的。

所謂的程式計數器，我們暫時可以將情況比擬想像成， Forth 系統中高階定義指令的程式計數器是 IP 。而低階定義指令的程式計數器是 W ，也就是 Forth 系統中所謂的工作暫存器(Current Word Pointer or Working Register)。一般 CPU 所擁有的程式計數器則仍然稱之為 PC ，如果還想再延伸推理到 FORTH 系統中是否還有其他類似意義的程式計數器？那麼我們也可以說負責多工任務(Multi-task)的另一個指標，使用者系統變數指標暫存器 UP(User Pointer)，可以算是多工(Tasks)運轉時的程式計數器，接受這一段描述，很可以加強你了解所謂『FORTH虛電腦』這個專有名詞的意義。

如果你很能融會貫通新學的東西，也很有創意，用心想一想，有一天也許能在 FORTH 領域創作出另一個程式計數器，例如：一種中階定義指令的指標暫存器，名叫 MP(Middle Word Pointer )，或者是比 UP 更高的超級程式計數器，用它供作多人使用時、許多系統相連時、甚或全世界網域互通時的指標暫存器之用，它名叫 Super-P ，因為管得太大了，所以名字比較長。讀者千萬不要認為這些推理不切實際，它蘊涵了 FORTH 一貫的哲理。

將指令結構分成兩部份的系統，常強調最終的應用程式被執行時只有體部才被用到，頭部可以說是多餘的，因此分成兩部份放置後，最後可以一次就丟光系統所有的頭部，只留體部，應用程式仍然照舊執行，省了記憶體，還讓有心人無法以逆行追蹤的方式還原源程式的結構。混用碼的程式技術也就是根據這樣的原則，來將其所下屬的高低不平等指令埋進系統的，我們須要的指令就根據此理而設計，這一部份簡化了剩下來另外一半的問題。

4 程式設計

下列是一套設計完成後經過測試的指令組：

突破結構化設計測試記錄

突破結構化設計測試記錄

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

2 March 2026

本文係 eForth32 系統中的測試記錄，原稿創作日期為 20111010 ，當時係為了紀念中華民國一百年十月十日而寫。

這是一個反其道而行的論題，程式設計觀念的演變是由原本可以非結構化的規格，演進到現代的強調要結構化，為了防止程式被執行期間因特例而出問題，且易於與人溝通，我也同意設計程式時應該結構化。然而，作為一個 FORTH 自由程式語言的使用者，根本不喜歡別人來干涉我的程式結不結構化？非結構化術語的存在意味著它應有存在的權力，這個自由也不應該被澈底剝奪。我個人的觀點則是：設計程式時應該盡量達到結構化的要求，但在萬一想直接引用前人設計出來的好程式，卻遇到了非結構化的情況，自己又不想大張旗鼓的重改其結構，則應該仍讓我擁有非結構化的權力。

所謂『結構化』，指的是程式執行流程若以繪線來表示，一些迴路或條件分支會形成封閉的迴圈，這些迴圈之線互不相交者就稱之為『結構化』，會相交者就是『非結構化』。舉例而言，早期的 FORTRAN、BASIC ..... 等程式語言，古今所有的 ASSEMBLY 程式語言，都是非結構化程式語言，近代的 BASIC、C++、FORTH ..... 則是結構化程式語言。我們可以這樣認為，所有的程式語言，原本都可由 ASSEMBLY 發展出來，包括其自身亦然。既然 ASSEMBLY 原本即有非結構化之本質，換句話說，程式語言就是有非結構化的天性，是人為的安排使之只能以結構化規格使用的，通常均因系統設計者在編譯程式(Compiler)中加了限制所致，否則所寫的程式無法通過編譯。

如果我們清楚了前述這些情況，當然就很容易了解，一般程式語言一旦有結構化要求之後，就很難再以不結構化方式設計程式了。 FORTH 不然！這也是一項它與一般程式語言有所不同的地方。通常一個市售的標準 FORTH 系統，編譯程式內也設計了結構化檢查的功能，但 FORTH 系統沒有使用者不得操控編譯程式或執譯程式(Interpreter)的嚴格限制，只要你有本事，你就可以進行隨心所欲的彈性運用，重點則在不要破壞了系統或毀了自己的設計。 FORTH 給你這種權力，但後果自行負責，是真正名符其實的『自由程式語言』。

許多年前，我在使用 FORTH 設計數值分析程式時，曾想直接引用一個 Gauss 法求解多元聯立方程式的 FORTRAN 程式，就遭遇到非結構化的問題，當時不想修改程式來適應系統，卻想操控 FORTH 系統來磨練本領，因此將問題提交到中山科學研究院舉辦的週五研討會上討論，陳爽提供了解答，他不愧為 FORTH 系統的個中好手，詳細的說明系統性能，並設計出解決方法，對此後的所有 FORTH 系統是否永久有效？ 不能保證，特此聲明。此段記述納入這篇短文，目的在除了不該掠人之美外，也期盼在 FORTH 發展逐漸式微的今天，能與大家分享這個早年不易散播的技術資料。

在正常情況下，這種破壞結構化的程式設計是不被許可的，因為程式無法適應編譯程式，一般 FORTH 系統遇到此一情況，通常會顯示錯誤訊息，且無法通過編譯。我最近均努力於發展 eForth32 系統的應用程式，在一次偶然的試用中，發現這種程式可以通過此系統的編譯，但當然無法被正確執行，原因是 eForth32 非商售的標準系統，它可以不對出此錯事負責，系統為了精簡設計，在編譯結構化分支指令時不設計彼此配對的識別碼，這也是此系統跑得很快的原因之一。

無論 FORTH 系統結構為何？如果瞭解 FORTH 系統在編譯時的一項重點，這個破壞結構化以迎合自己要求的問題就可以解決，此一重點就是──『FORTH在編譯時不用回返堆疊來傳遞參數，反而使用數據堆疊來傳遞參數』。 FORTH 系統在編譯到結構化指令時，通常由於該類指令必須成對使用的要求，會在數據堆疊上留下兩個數值。一是成對要求的識別碼，例如： IF 配 THEN 有一代表碼， DO 配 LOOP 是另一代表碼。另一數值則為結構分支所需的位址值，以便分支指令可以據以編譯入系統。必須特別強調的是， eForth32 系統則簡化成只有一個位址值。

根據這個特點，我們就可以指揮系統但不破壞系統來完成我們的要求，可以形成迴路的指令不僅只是一兩個，我們不宜一一舉例來長篇討論，讀者應舉一能反三，自行活用，須要時仔細拜讀系統結構化指令的詳細內容，也就不可或免。本文僅舉一簡單例子，並設計程式測試，以驗證無誤，提供讀者日後引用時參考。設計驗證的方法也是另類技術，在正式引用前所應先行完成的工作。

例如：我們希望一個 IF ..... THEN 的結構能與 BEGIN ..... UNTIL 結構相跨，還能讓程式正常的被執行。也就是希望程式寫成形同下列的格式，照樣可以被執行：

 

: NON-STRUCTURE
  Statement-1
  Flag-for-IF
     IF     Statement-2
            BEGIN   Statement-3
     THEN   Statement-4
            Flag-for-UNTIL
            UNTIL   Statement-5  ;
 
  
 

分析過指令詳細內容後，我們可以發現，兩組結構化分支指令都各有一相關的位址值， IF 可能要跳往 THEN ， UNTIL 可能要回跳至 BEGIN 。系統在編譯到 IF 時會留下一個當時系統的位址在數據堆疊上，等到編譯 THEN 時，再將當時系統的位址回填入此堆疊上留下的位址內，完成一組結構化配對指令的要求。同理，系統編譯到 BEGIN 時，也會留下一個系統當時的位址在數據堆疊上，等到編譯 UNTIL 時，系統會安排一個條件分支指令，此留在數據堆疊上的位址，便會被填入此指令之後，以供須要跳躍分支時前往。如果我們不對留在數據堆疊上的兩個位址值進行處理，而仍能通過編譯，那麼編譯的結果，當然會造成跳至錯誤去處的現象， eForth32 系統即為如此。如果我們希望系統仍能編譯出正確的結果，那麼該處理的對象也就是在數據堆疊上所留下的位址值，由上列程式的判讀，我們也可以得知，處理的時機在 BEGIN 與 THEN 之間，至於在 Statement-3 的前面或後面就不太重要了，端視 Statement-3 是否也會在數據堆疊上留下參數而定，因此較妥善的位置，應該是就緊接在 BEGIN 位置之後，處理的方法為在程式的這個位置插入一小段程式，宣告要求系統由編譯狀態轉入執譯狀態，然後立刻執行翻轉數據堆疊頂部當時被留置下來的兩個數值，末了再宣告系統恢復原有的編譯狀態，繼續編譯，這樣就可以人為的方式騙過系統，好像不曾發生過事情一般，完成正常編譯，而且程式可以執行。所添加的三個指令並不會增加系統的編譯量，因為它們在執譯狀態時立即被執行掉了。對 eForth32 系統而言，改寫後的程式如下：

 
: NON-STRUCTURE
  Statement-1
  Flag-for-IF
     IF     Statement-2
            BEGIN  [  SWAP  ]  Statement-3
     THEN   Statement-4
            Flag-for-UNTIL
            UNTIL   Statement-5  ;


至於一般 FORTH 系統，因為多了一組配對識別碼的關係，此處的 SWAP 要改成 2SWAP (不保證都有效！） 。我們就根據原描述程式，設計驗證程式如下：



VARIABLE  flag-for-IF         -1  flag-for-IF    !
VARIABLE  flag-for-UNTIL      -1  flag-for-UNTIL !
:  Statement-1  .”  Statement-1  ”  ;
:  Statement-2  .”  Statement-2  ”  ;
:  Statement-3  .”  Statement-3  ”  ;
:  Statement-4  .”  Statement-4  ”  ;
:  Statement-5  .”  Statement-5  ”  ;
:  NON-STRUCTURE
   Statement-1
   Flag-for-IF
      IF    Statement-2
            BEGIN  [  SWAP  ]  Statement-3
      THEN  Statement-4
            KEY?
            UNTIL  Statement-5  ; 

注意！我們用 KEY? 取代了該處原本應該設計的一個可調內容之旗標變數 flag-for-UNTIL ，原因無它， BEGIN ..... UNTIL 如果被編譯完成且被執行， UNTIL 前列的變數就不再有可被調變的機會，它將形成一個永不終止的無限迴路，因此改用 KEY? 來人為控制。這個指令很好用，它是呈現出鍵盤可以被當作一個即時性(Real-time control)控制器使用的專門指令，它具有 FORTH 即時性控制的精神本質。

執行上述編譯完成的程式後，可以根據螢幕上列印出來的文字，判斷你所設計的程式正確與否？此處所舉的例子僅代表本文論述的問題可以被很技巧的解決，至於任意結構化指令的隨意混組，又想要突破其結構化限制，如何解決？則應視情況而定，了解指令執行機制，仿照本文敘述，找到處理對象、處理位置與處理方法並不困難，這不是一件經常要做的事情，不須強記，只須留下本文以供日後需要時參考，另外，則應記得 FORTH 經常與眾不同，它可以變化萬千。

如果仔細深究我設計的 ABC Forth 系統，就具有本文探討的特性，能夠在高階程式的環境，破壞結構化規格。它的應用實例，可以從我在這個網頁中曾經貼出之有關鑑定質數的程式中發現。

例如：程式用來鑑定某一數字是否為質數時，程式的設計方法是核算從 2 開始，直到該數字之開平方以前，該數能否被這些質數除得盡？能除得盡就不是質數，都除不盡就是新產生的質數。這樣的程式，在設計時，我採用了 BASIC 語法中有固定上限指標的 FOR ..... NEXT 迴路完成設計。

為了能在已核算出能被除得盡時不必續算剩餘指標，我就取巧的利用了執行一次 2drop 的技巧，令程式可以從 FOR ..... NEXT 固定迴路中跳出迴圈。這樣做，可以大量節省執行次數與執行時間，就是一種非結構化的用法。

能這樣做的原因，是因為我把 FOR ..... NEXT 迴路的指標 I 之上限與現行數字設計成放在數據堆疊上運作的關係，所以能輕鬆的只用 2drop 指令實現非結構化設計。實際程式可以從本網頁中已貼出的文章中找到，請自行參閱。

劃線程式

劃線程式

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

16 February 2026

要電腦執行在兩點間劃出一條直線的程式設計，看似簡單，實不單純，想用電腦控制外部機械，劃出一條直線，狀況相同。有許多劃線的方法曾被大家探討，但在理論與實務間存在著一些問題，要實作後才能體會問題所在，理論根據可以任找一個，程式工具也可以任選一種，實現它的過程所會遭遇的問題，則可能都是一樣的。

本文探討一份已在美國申請取得專利之公開資料的內容，並以 eForth32 於 DOS 環境內的 EGA 可繪圖模式為基礎，進行程式測試設計，文內記述了測試結果、遭遇的問題、及其解決方法。

專利資料是公佈於網上的公開資料，欲正式使用者，必須自行接洽專利擁有者。本文僅對這份專利的內容進行探討，但絕不實際運用，因為，文末另附乙份沒有專利問題的標準 FORTH 程式，可以毫無問題的直接應用。

這個主題在許多方面有利用價值，例如：二維系統中的機器運動控制──焊接、繪圖、打孔、定位、置放零件…等眾多電腦自動控制機械中，均可派上用場，若延伸發展至三度空間，則可供機器人運動控制之用。


1 原理與依據

與電腦系統相關的劃線環境，可以說幾乎全是由方格子柵樣的點所構成的，假設我們只能用這些微觀不連續的點來形成兩個座標間的一條線，應如何劃？

我們取 BASIC 語言，其程式具有幾乎等同於不改數學式子的特點，來解釋這個問題，就非常容易了解，如果將其簡化成最容易解釋的幾何圖與數學式子，就如同下述：

假設如圖一所示，在 ( X1 , Y1 ) 與 ( X2 , Y2 ) 兩點間欲劃之線應由許多相鄰卻不連續的點所構成，其中各個點的座標為 ( X , Y )。
根據幾何相似三角形原理，很容易看出打算劃出之點，其在線上的座標被表示為 ( X , Y ) ，而 Y 之值為：

Y = Y1 + ( ( Y2 – Y1 ) * ( X – X1 ) / ( X2 – X1 ) )

以 BASIC 來寫程式時，其結果為：

FOR X = X1 TO X2
Y = Y1 + ( ( Y2 – Y1 ) * ( X – X1 ) / ( X2 – X1 ) )
PLOT ( X , Y )
NEXT X


圖一

以上的敘述，可以算是已經解釋完了兩點間劃一條直線的基本原理，但實際情況絕非如此單純。首先，實際的整數數位環境中，通常未必每次都剛好有一可劃之點的座標，剛好等於算出來的 ( X , Y ) 非整數數位座標，其次，當由一點逼近到另一點的方式必須由幾條線段完成時，必須講求均勻的效果，程式設計者得為電腦設定一套計算完畢後劃那一點的規則，最後才會有較佳結果，這些都是劃線方法強調的重點。至於利用浮點數計算能力，先行算出該繪之點的座標，再利用浮點數轉換成整數的技巧達到目的的方法，則不在本文討論之列，因為，經常會遭遇到的環境，通常都缺乏浮點數計算能力。

我們絕對不應當將兩點間劃一條直線視為理所當然的事情，以為直接叫用系統中已經設計好的劃線指令來用就可以了，螢幕並不代表所有的環境，要到螢幕以外的地方去劃一條直線，程式必須自己設計，通常不是現成可取的。反過來講，如果掌握了劃直線程式的機制，那麼想要在任何可顯示圖形的螢幕上劃直線，就不困難，如此便形成探討這個主題的價值，也莫怪有人以此申請專利，良法不願隨便公開了。本文不想侵犯專利，文內說明了引用來源，但前述已經強調，理論與實務間存在差距，實作後才能有所體會與發現，細讀此文，輔以自行磨練，以後面對相同問題時，就能顯現本文之效用。

作者係先選定主題後才去尋找依據，並透過網路尋找答案，可依據的理論不勝枚舉，本文選取一個較佳的方法，摘要其中最主要的文字敘述，作為原理依據。謹詳實記錄其來源如下：

網頁： www.patenstorm.us/patents/6847362 （附記 ： 我於 20260216 進行核查操作後確定這個網頁已經失聯）
Inventors: Lu, Chung-Yen Yao, Jo-Tan ( Taipei, Taiwan )

根據：

一畝三分地的程式人生

一畝三分地的程式人生

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

2 February 2026

地不大，就只有 866.67 平方公尺。

我現在住家的總地積為 1012 平方公尺，是座落於市區的大平房，後院裡有個大隱於市的小菜圃(12公尺 X 2公尺)，不在菜圃範圍內的土地，也都可以隨便種植東西。

我只使用 Forth 程式語言設計程式，桌機、手提、單板電腦我都有，都裝 Forth ，研究問題需要寫程式時，盡量只用 Forth 解決問題。

這樣的人生格局，已經步入坐 7 望 8 的年紀，卻照樣喜歡過著一畝三分地的生活，居家種菜是這樣，發展程式技術也是這樣，好好的過日子，總是能悟出一些事物的道理。

紐西蘭的氣候四季分明，冬日裡菜圃沒有什麼東西值得種植。一方面是低於 10 度 C 的溫度時，植物停止生長。另方面是寒冷的冬天很不適合從事戶外農務工作，我們就更應該順應天理，讓土地休養生息，春天到了才再重新開始。我從小就喜歡種植蔬菜瓜果，有 70 年以上的經驗。我住過的房子都帶有院落，可以經營一畝三分地式的精緻農作，這是一種健康的人生，不只是所有的產物都不用化學肥料、不用化學農藥，除草、墾地也只用簡單農具，我從實際工作中悟出道理，讓工作順遂、收成理想。

好的收成來自於勤奮的耕耘，農務工作也事事都得講道理。我從老鄰居 Norman 先生那裡學到，紐西蘭要等到十月份第四個禮拜一的勞動節以後才適合開始播種、種菜，除非種子難以買到，否則菜種最好不要自己培育，自己繁衍的種子容易劣化，價格又很便宜，市價大約都是每小包2.5元紐幣，份量適當。我今年就買了玉米、小黃瓜的種子。

現在，小黃瓜的收成都已到了尾聲，種植它時有些特性。需要育苗後移植，才不會被無殼蝸牛吃掉。種下去之後就不宜再做除草之事。它是淺根性植物，除草、翻土都會導致瓜株枯萎，沒有收成。烈日下只宜澆水，要吃嫩瓜就得勤收成，新瓜才能後繼跟上，天天去收成就天天有得吃。小黃瓜是不宜授粉的瓜，因為授粉的瓜會苦，公花甚至於可以全摘除了加進蛋花湯食用，我覺得很好吃。

甜玉米是去年 11 月 3 日播的種，生長期 100 天，今年 2 月 10 開始適合收成，就是這幾天。我早已練就了識別玉米成熟與否的方法，用手輕捏玉米的尾端，顆粒都已飽滿圓滾了，就是成熟度夠了。這時若不收成，鳥都會飛來啄食，螞蟻也上來產卵、繁殖，這樣的損失就很划不來了。

菜圃裡我還大量種植了青蔥與空心菜，這兩種東西都很容易種，居家生活就能天天都可就地採收食用，方便、乾淨是我家這個大隱於市菜圃的最大好處。

我割草後都倒進堆肥槽，槽就建在菜圃的正中央，槽的兩邊特別適合種植瓠瓜，等同於此瓜不用施肥，只須大量澆水，堆肥分解得快，瓠瓜大量吸收。只種一棵，就能每天授粉、每天收成。我們吃起來很奢侈，每天都只吃一個低於一公斤重量的瓠瓜，種子都還沒有長成就收來吃，嫩而略帶甜味，一棵每年都能有超過一百個授粉後才能獲得的嫩瓜。

小黃瓜邊不宜除草，空心菜與青蔥邊就得勤於除草才有收成。親身做過除草工作才能悟出除草的道理，草芽很小時，想除也難除，草苗長大了就吃肥、浪費養分，標的菜株必定長不好。我除草時自行判斷，要等雜草長得夠高了才動手。草苗若長太高、根部已經分枝後就難除了。拔草時只宜一根一根的拔，手抓最底部，直接連根拔起，就能除得乾乾淨淨。貪心多抓幾根，根部反而容易斷在土裡，這樣拔，只除了表面，沒有春風，只要有烈日也照樣重新又生而且大長。除草並非只做一次便可，何時又該除草了？只能自己觀察。除草的重點學問是你得分得出那些東西才是雜草，否則會在除草時拔了青蔥。我的菜圃內早已是苜蓿大量氾濫，它卻是有益植物，它不容易連根拔除，最好也別拔除，因為它的球根有將空氣中的氮固定於根部轉換成為氮肥的效果，留在原地，地裡就肥。我種甜玉米的區域，長滿了苜蓿，它除了具有保溼、供肥的效果，苜蓿還排擠其他雜草，有多重好處。

一畝三分地的人生哲理是這種生活方式並不足以可以孤立、隔離、健康的維生，我們每星期六仍須去跳蚤市場買中國青菜。小白菜、白蘿蔔、大白菜、甜的高麗菜等是我們的最愛，這幾種菜也只有華人的菜地供應得了，一般超市不是不賣就是品種欠佳。我們只在超市買菠菜、番茄、茼蒿、芹菜等，因為超市這方面的供貨比較乾淨，易於進行食用前的處裡。

這些長期培養出來的規矩，就像寫程式一樣，是已經駕輕就熟的生活程式。看看這些今晨拍攝的菜圃照片，我以實際成果展示這種一畝三分地的踏實人生。

我在公開貼出的文章中很少展示繪圖方面的程式作品，一方面是這種程式的規模都比較大，另方面是能夠純用 Forth 繪圖的系統並不太多，所以我就少談。

今天，我以經營一畝三分地過活的精神，簡介一個純由我自己發展出來的繪圖範例，它是在 Win32Forth 系統中繪製出橢圓的實例。這是還在使用 32 位元環境之作業系統時，於 Win32Forth 發展末期的零星作品，那時的程式心態就是缺什麼就建什麼，自己經營。

用過 Win32Forth 系統的人都熟知，現成可用的繪圖指令中，缺乏可以直接繪出橢圓的指令，因此，我就自建一套繪製方法。這樣的耕耘，要身體力行於實際設計，並看到輸出結果後，才能領悟出這樣的繪製程序是否好用？ 它是 2015 年的產品，由於數學演算部份全用 BASIC 語法的格式書寫，多年之後，我仍能直接讀出繪製方法的重點，一目了然。

關於 Win32Forth 系統的繪圖功能，我不擬詳細解說，只能大致描述如下：
基本上，它藉著小畫家軟體的繪圖觀念建立起基礎架構，繪圖時採用物件導向程式(Object-Oriented Programming (OOP) )的書寫方法設計程式，把被繪出的圖形當作一個物件(Object)來處理。
所以，使用 :OBJECT ..... ;OBJECT 的架構框住整個繪圖程式。
程式的起頭，通常使用幾個物件導向式指令，宣告規劃出視窗物件的定點與大小、給予視窗框架的抬頭名稱或標示，然後才開始繪圖。這些物件導向式指令都以 :M ..... ;M 的格式框住其內容，最後一個 ON_PAINT: 物件導向式指令的執行內容才是整個繪圖程式的重點。
為了讓我設計之 ABC FORTH 語法的程式能與物件導向式繪圖程式相容於此系統，必須在 ON_PAINT: 指令結束的末尾，採用一次 [ CLASSES ] 立即執行式的宣告，作為結束，繪完圖後才能安返系統。

我的橢圓繪圖方式係採用表示橢圓的參數方程式(Parametric Equation)進行繪圖。橢圓的關鍵參數是其長軸與短軸，也就是 a 與 b 參數的大小，繪出時需要知道橢圓的中心座標點(可以在視窗中任意指定)與被旋轉的角度 d (逆時鐘方向旋轉)，這樣就能在平面上任意一點繪出各種橢圓。尺寸過大也沒有關係，觀念上就是畫到外面去了，不影響橢圓圖形的形成。有關橢圓之數學表示式及其幾何圖形的意義，是高中生學習二次方程時的課題，本文完全省略不討論，請自行複習相關資料。至於為什麼採用計算出橢圓參數方程式的方式來繪圖？係取其方便而用之。
簡單的繪圖觀念只須依靠提筆(MOVETO:)與劃線(LINETO:)兩個物件導向式指令就能完成。為了繪出粗紅線條，我另用 BRUSHCOLOR: 與 FILLCIRCLE: 兩個物件導向式指令展示了成果。
這套繪圖程式有那些現成的物件導向指令功能？ 請自行參考系統，內容龐大，但是沒有能直接繪出橢圓的指令。
範例程式我只貼出一份。今天早上我親自在 Ubuntu 20.04 作業系統加裝了 wine 軟體的環境中，啟動了 ABC660ForthV61505.exe 執行出此範例程式後，才操作 Shift-PrintScreen 硬拷貝視窗物件，最後得到這張完成圖。
另外加貼一些於 2015 年採用各種同類型程式繪製出來的圖樣，供作參考。由於程式都不簡短，因此只刊圖形，不刊程式。

一畝三分地的程式人生就是這樣形成的，我自覺這些題材有點樂趣，創作也值得與大家分享。

線性組合

線性組合

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

16 January 2026

在大學三年級以上的高等數學課程中，經常可以聽到老師在教學課堂上強調：解方程式時『解的線性組合亦為其解』。
以前在學時，只是把他背下來，沒有去深入了解，後來走進了社會，經常看到『線性組合』的術語，就開始根據孔子所說的『思而不學則罔，學而不思則殆』之道理來想問題。
結果發現，運用幼年還沒有 x, y 代數知識時期的思考方式想問題，最容易了解，而且要把問題反過來表達，才更清楚。
那時，若問 3 乘以多少能得到 6 時，這個在等號左邊的『乘以多少』移到等號右邊，就應該是被 6『除以多少』了。

同理，我就以同樣的方式思考何謂『線性組合』？與可以運用在那裡？的問題。

根據定義，線性函數有兩個重要特點，以數學式表示則為：

cf(x)= f(cx)
f(x+y)=f(x)+f(y)

其中，『乘以 c 』也隱含了可以『除以 c 』的意義，『加上』也隱含了可以為『減掉』的意義。

思考的時候，就用幼學技巧來思考，例如：

假設已經知道 x = 5 。那麼，『線性組合』類比上的發揮就可以這樣的式子表示：

數字轉換成數值

數字轉換成數值

曾慶潭 Ching-Tang Tseng

ilikeforth@gmail.com

Hamilton, New Zealand

2 January 2026

數學計算是電腦的主要功能之一，數學計算程式則處理數值問題。數值在被處理成電腦可以執行運算的格式前，僅只是人們可以認得的數字，例如：口語上的一百二十三，寫成人們可以認得的阿拉伯數字時是123，它只是一個數字，一般電腦系統，通常均只將其識別成『字』而不是可以用來運算的『值』。因此，凡涉及數學計算的程式系統，都必須具備將數字轉換成數值的指令，反之，為了顯示運算結果，也必須具備將數值轉換成數字的指令，電腦才能接受人們設計的數學計算程式，執行程式內指定之數學運算，最後，以數字表示方式顯示結果。

近代FORTH，特別是依循ANSI標準設計出來的系統，常令使用者在設計將數字轉換成數值的程式時感到困擾，問題的起因，就在一個設計轉換程式時，常會用到的關鍵性指令：>NUMBER，其標準規格，似乎是被訂定成強調數學計算功能者所不願見到的格式了。

首先，它不處理帶有負號的輸入數字，數學計算怎麼可能不管負數？這個標準原生指令則確實不管，因此，設計數學計算系統者，只好自行在系統中，增加設計補其功能不足的程式。

另外，傳統非ANSI標準的FORTH系統，在處理數字輸入的方式上，通常就將帶有小數點格式的輸入數字，列入等同於>NUMBER之指令亦應處理的對象之一，這種功能，甚至於被設計成隱性的處理方式，讓系統自動記錄，輸入數字有無小數點？有，則在第幾位位數之處，記錄會被留在一個常被稱為DPL的變數內。

更先進的FORTH系統，則將處理數字輸入方面的整個問題，進行了更具彈性的安排，也就是硬將等同於>NUMBER的基本指令，規劃成執行向量式的指令格式，其執行內容，可隨設計者任意調整。

當初，在議定>NUMBER指令的ANSI規格時，可以想像，必定發生過非常混亂的紛爭，因為，事隔十年之後，還能見到許多公開譴責這個指令標準格式的言論。事實上，想實現包括了上述傳統數字轉換成數值所有功能的指令規格，確實不易訂定，因此，不納入規格，反而更能配合後序的千變萬化程式設計。使用者當然會感到麻煩，負數、小數點都得另行處理，整個FORTH系統運行起來之後，有更多的數字輸入識別處理工作要做，而>NUMBER標準指令，只能提供非常有限的數字轉換成數值之功能。有時，系統乾脆不用，僅在系統之INTERPRET內單獨設計隱性處理程式，然後，只按ANSI規格設計>NUMBER顯性指令供使用者使用。

執行>NUMBER指令前後的堆疊上參數之表示說明為：

( ud1 addr1 n1 – ud2 addr2 n2 )

其中，ud表正的雙整數，恆為正數，不管負值。addr1 n1則表待轉換數字之起始位址與字長量，addr2 n2則表轉換到不能轉換時的位址與剩餘字長量，小數點將被視為不能轉換的對象。

傳統FORTH中，等同於>NUMBER的指令，就被稱為NUMBER，其對應規格為：

( addr – d )

addr表待轉換數字之起始位址，d為轉換出來的數值，可正可負。轉換到不能轉換的標界，是空白字元，因此，可以接受數字內有小數點，指令會將位數存入DPL變數。

雖然，ANSI中的>NUMBER指令規格，不太令人滿意，並不表示使用者絕對無法實現數字轉換成數值的程式，只是表示想達到目的時，較為麻煩而已。單憑此一ANSI標準規格的>NUMBER指令，我們仍然能以高階定義的方式，定義出傳統之NUMBER指令來。

下列這個程式就能達到目的，但執行內容則不管小數點的問題。